Vektorinę sandaugą naudokite statmeniems vektoriams, plotams ir momentams: atidžiai užrašykite tris komponentes, išlaikydami tvarką a × b.
Sijų atramų reakcijos
Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d
Metodas
Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.
Santvara: mazgų metodas
Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas
Metodas
Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.
Rėmai ir mechanizmai
Kiekvieno strypo pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Dviejų jėgų strypas
jėga veikia tiese, einančia per jo du šarnyrus
Šarnyro jėga
vienodo didumo ir priešingos jėgos dviem sujungiamiems strypams
Šarnyro jėgos modulis
F = √(Fx² + Fy²)
Svertas, replės, kampinis svertas
Fin·a = Fout·b
Alkūninis mechanizmas
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Metodas
Nubraižykite visą konstrukciją ir raskite atramų reakcijas, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys.
Raskite dviejų jėgų strypus: apkrauti tik dviejuose šarnyruose, jų jėga veikia tiese tarp tų šarnyrų.
Išardykite rėmą ir nubraižykite kiekvieną strypą atskirai; kur strypai susijungia, šarnyrų jėgos vienodo didumo ir priešingos krypties.
Kiekvienam strypui imkite momentus šarnyro, kuriame veikia nežinomos jėgos, atžvilgiu, tada naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0; komponentes į modulį sujunkite pačioje pabaigoje.
Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8
Metodas
Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.
Svorio centras ir inercijos momentas
Svorio centras
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Stačiakampis
I = bh³/12
Šteinerio teorema
I = Ic + A·d²
Sudėtinis skerspjūvis
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Uždaviniai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaVidutinis
Raskite kampą θ tarp vektorių a = (6, 1, 3) ir b = (6, −6, −3) laipsniais.
a = (6, 1, 3)b = (6, −6, −3)
θ = °
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandaugaSunkus
Kai a = (2, 6, −5) ir b = (6, −1, −4), raskite vektorinės sandaugos a × b y komponentę (a × b)y.
a = (2, 6, −5)b = (6, −1, −4)
(a × b)y =
3.Sijų atramų reakcijosVidutinis
Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.
L = 5 mP1 = 10 kN ties 2 mP2 = 50 kN ties 3 m
RB = kN
4.Sijų atramų reakcijosSunkus
Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją veikia tiesiškai kintanti apkrova, kuri ties siena lygi 6 kN/m ir mažėja iki nulio laisvajame gale B, bei sutelktoji jėga P, esanti 1,5 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.
L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 50 kN ties 1,5 m
MA = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
Mazgų metodu raskite jėgą FAB strype AB. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.
tarpatramis = 6 maukštis = 3 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kN
tarpatramis = 8 maukštis = 2 mB yra 5 m nuo Avertikalioji apkrova = 55 kNhorizontalioji apkrova = 5 kN ←
FAC = kN
7.Rėmai ir mechanizmaiVidutinis
Horizontali sija AB šarnyru pritvirtinta prie sienos taške A ir paremta atspara CD, šarnyru pritvirtinta prie sienos taške C, 1 m žemiau A. Taške B kabo 5 kN apkrova. Svorių nepaisykite. Raskite šarnyro jėgos, veikiančios siją taške A, didumą A.
P = 5 kNAD = 0,75 mAB = 2,4 mAC = 1 m
A = kN
8.Rėmai ir mechanizmaiSunkus
Parodytas A formos rėmas stovi ant šarnyrinės atramos A ir ritininės atramos B, nutolusių 3 m, jo viršūnės šarnyras C yra 2,5 m aukštyje, o horizontalus ryšys DE – 0,6 m virš žemės. Vertikali 4 kN apkrova veikia koją AC taške K, 0,9 m (horizontaliai) nuo A. Raskite jėgos C, kuria šarnyras C veikia koją BC, didumą.
P = 4 kNAB = 3 mC aukštis = 2,5 mDE aukštis = 0,6 mhorizontalus atstumas nuo A iki K = 0,9 m
C = kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
Gembė įtvirtinta taške A. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 5 m atstumu nuo A. Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 1 m nuo įtvirtinimo A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.
L = 5 mP = 15 kN ties 5 mw = 12 kN/m nuo 0 iki 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
Laisvai atremta sija visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktąja jėga P. Raskite didžiausią sijos lenkimo momentą Mmax.
L = 5 mP = 30 kN ties 3,5 mw = 4 kN/m nuo 0 iki 5 m
Mmax = kN·m
11.Svorio centras ir inercijos momentasVidutinis
100 mm × 300 mm plokštė turi apvalią 40 mm skersmens skylę vertikalioje simetrijos ašyje, kurios centras yra 195 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmskylės centras: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentasSunkus
100 mm × 150 mm plokštė turi stačiakampį iškirpimą, 60 mm pločio ir 30 mm aukščio, vertikalioje simetrijos ašyje, kurio centras yra 97,5 mm virš apačios. Raskite ploto inercijos momentą Ix horizontaliosios ašies, einančios per svorio centrą, atžvilgiu.
b = 100 mmh = 150 mmiškirpimas: 60 × 30 mmskylės centras: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Tirpalai
1.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: θ = 69,88 °
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaliarinė sandauga
a·b = 6·6 + 1·(−6) + 3·(−3) = 21
Moduliai
|a| = √(6² + 1² + 3²) = 6,782
|b| = √(6² + (−6)² + (−3)²) = 9
Kampas
cos θ = 21/(6,782·9) = 0,344
θ = arccos(0,344) = 69,88°
Atsakymas
θ = 69,88°
2.Vektoriai: skaliarinė ir vektorinė sandauga
Atsakymas: (a × b)y = −22
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektorinė sandauga komponentėmis
(a × b)x = aybz − azby = 6·(−4) − (−5)·(−1) = −29
(a × b)y = azbx − axbz = (−5)·6 − 2·(−4) = −22
(a × b)z = axby − aybx = 2·(−1) − 6·6 = −38
Prašoma komponentė
(a × b)y = −22
Atsakymas
(a × b)y = −22
Patikra: a × b yra statmena abiem vektoriams, todėl jos skaliarinė sandauga su a ir su b lygi nuliui.
3.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: RB = 34 kN
Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.
Laisvojo kūno diagrama
Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.
Pusiausvyra
Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2 + 50·3
RB = 170/5 = 34 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 34 = 26 kN
Atsakymas
RB = 34 kN
4.Sijų atramų reakcijos
Atsakymas: MA = 100 kN·m
Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.
Trikampės apkrovos atstojamoji
W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m
Momentas sienos atžvilgiu
MA = W·x̄ + P·a = 15·1,667 + 50·1,5 = 100 kN·m
Atsakymas
MA = 100 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAB = −14,58 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·6 = 45·5 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 37,5 = 7,5 kN
Mazgas A
Tarkite, kad kiekvienas strypas tempiamas (traukia nuo mazgo). Tik AB turi vertikaliąją dedamąją mazge A.
sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −7,5/0,5145 = −14,58 kN
Atsakymas
FAB = −14,58 kN (gniuždymas)
6.Santvara: mazgų metodas
Atsakymas: FAC = 49,69 kN
Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.
Atramų reakcijos
Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·5 − 5·2 → Cy = 33,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 33,13 = 21,88 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
Mazgas C
Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.
sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Atsparos jėga
FCD = 5·2,4/(0,8·0,75) = 20 kN
Komponentės taške A
Ax = FCD·cos α = 12 kN (link sienos)
Ay = 5 − FCD·sin α = −11 kN
Modulis
A = √(12² + −11²) = 16,28 kN
Atsakymas
A = 16,28 kN
Neigiamas Ay reiškia, kad siena traukia siją žemyn taške A.
8.Rėmai ir mechanizmai
Atsakymas: C = 1,529 kN
Rėmai ir mechanizmai: skirtingai nei santvara, rėmas turi bent vieną strypą, kuris apkrautas daugiau nei dviejuose taškuose arba turi apkrovą tarp šarnyrų. Pirmiausia ieškokite dviejų jėgų strypų: strypo, apkrauto tik dviejuose šarnyruose, jėga veikia tiese per juos, todėl jis prideda vieną nežinomąjį, o ne du. Tada atramų reakcijoms naudokite visą konstrukciją, jei nežinomųjų ne daugiau kaip trys. Galiausiai išardykite rėmą: kiekvieną strypą nubraižykite atskirai, su vienodo didumo ir priešingomis šarnyrų jėgomis dviem juos jungiantiems strypams, ir užrašykite jam ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0. Imant momentus šarnyro atžvilgiu, abi to šarnyro jėgos komponentės iš lygties iškrenta.
Atramos B reakcija
By = 4·0,9/3 = 1,2 kN
Ryšio jėga
T = 1,2·1,5/1,9 = 0,9474 kN
Šarnyro jėga, veikianti BC
Cx = 0,9474 kN, Cy = −1,2 kN
C = √(0,9474² + 1,2²) = 1,529 kN
Atsakymas
C = 1,529 kN
9.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mx = −156 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.
Palikite dalį su laisvuoju galu
P: −15·4 = −60 kN·m
w: −12·4²/2 = −96 kN·m
Mx = −60 − 96 = −156 kN·m
Atsakymas
Mx = −156 kN·m
Neigiamas reiškia neigiamą lenkimą: tempiami viršutiniai sluoksniai.
10.Skersinė jėga ir lenkimo momentas
Atsakymas: Mmax = 42 kN·m
Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu. Didžiausias momentas: kadangi dM/dx = V, lenkimo momentas didžiausias ten, kur skersinė jėga eina per nulį – sutelktosios jėgos vietoje arba išskirstytosios apkrovos ruože.
Atramų reakcijos
Visos sijos pusiausvyra.
Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, veikianti taške x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·3,5 + 4·5·2,5
RB = 155/5 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 31 = 19 kN
Kur V = 0?
V(3,5⁻) = RA − w·3,5 = 5 kN
V(3,5⁺) = 5 − 30 = −25 kN
Skersinė jėga keičia ženklą ties apkrova, todėl maksimumas yra po apkrova.
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (30000·150 − 1257·195)/(30000 − 1257) = 148 mm
Pilna plokštė ȳ atžvilgiu
100·300³/12 + 30000·1,967² = 225,1 × 10⁶ mm⁴
Skylė ȳ atžvilgiu
π·40⁴/64 + 1257·46,97² = 2,898 × 10⁶ mm⁴
Atimkite
Ix = 222,2 × 10⁶ mm⁴
Atsakymas
Ix = 222,2 × 10⁶ mm⁴
12.Svorio centras ir inercijos momentas
Atsakymas: Ix = 26,95 × 10⁶ mm⁴
Pjūviai su skylėmis: skylę traktuokite kaip neigiamą plotą. Svorio centras yra ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), kai A₁, y₁ – pilnos plokštės, o A₂, y₂ – skylės. Ploto inercijos momentui centrinės ašies atžvilgiu kiekvienai daliai taikykite lygiagrečiųjų ašių (Šteinerio) teoremą ir skylę atimkite: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), kur d yra atstumas nuo kiekvienos dalies savojo svorio centro iki ašies, einančios per ȳ. Stačiakampio Ic = bh³/12, o skritulio Ic = πd⁴/64.
Svorio centras
ȳ = (15000·75 − 1800·97,5)/(15000 − 1800) = 71,93 mm