Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 48, 41, 37, 26, 37, 33, 20.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 42?

μ = 50σ = 10x = 42

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,25, 0,35, 0,05, 0,05

σ =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €1. Laimite €3 su tikimybe 0,15 ir €20 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €1€3: p = 0,15€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 735,2 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 735,2 g

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 5 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.5%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −4,7, o standartinis nuokrypis 3,7. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 6d̄ = −4,7s_d = 3,799%t(5) = 4,032

apatinis rėžis = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5?

σ = 40E = 1,599%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

11 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 9,07, o skirtumų standartinis nuokrypis 9,4. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 11d̄ = 9,07s_d = 9,4

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 10E = 290%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 24,5.

n = 6x = 24,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 9,325

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 242/7 = 34,57

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 13,43² + 6,429² + 2,429² + (−8,571)² + 2,429² + (−1,571)² + (−14,57)² = 521,7

Standartinis nuokrypis

s = √(521,7/6) = 9,325

Atsakymas

s = 9,325

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2119

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,1

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,05 + 5·0,05 = 2,3

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,05 + 25·0,05 = 6,5

Dispersija

Var(X) = 6,5 − 2,3² = 1,21

σ = √1,21 = 1,1

Atsakymas

σ = 1,1

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −0,35 €

Grynosios baigtys

G: 2 (p = 0,15), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,84)

Laukiamoji vertė

E(G) = 2·0,15 + 19·0,01 − 1·0,84 = −0,35 €

Atsakymas

E(G) = −0,35 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9332

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartizuokite

z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 124,6 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,95

z iš lentelės

z ≈ 1,64

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 tšk.

Atsakymas

x = 124,6 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −10,79 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 5, t = 4,032

Paklaidos riba

E = 4,032·3,7/√6 = 6,09

Intervalas

−4,7 ± 6,09 → [−10,79, 1,39]

Atsakymas

apatinis rėžis = −10,79 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 4719

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (2,576·40/1,5)² = 4719

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 4719

Atsakymas

n = 4719

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 3,2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 9,4/√11 = 2,834

Testo statistika

t = 9,07/2,834 = 3,2

Atsakymas

t = 3,2

Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 68

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·10/2)² = 67,65

Apvalinkite aukštyn

n = 68

Atsakymas

n = 68

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9742

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 403/6 = 67,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 293

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1259

Determinacijos koeficientas

r² = 293²/(70·1259) = 0,9742

Atsakymas

r² = 0,9742

Apie 97,42% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 129

Vidurkiai

x̄ = 129/6 = 21,5

ȳ = 670/6 = 111,7

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 909

Regresijos tiesė

b = 909/157,5 = 5,771

a = 111,7 − 5,771·21,5 = −12,42

ŷ = −12,42 + 5,771·x

Prognozė

ŷ = −12,42 + 5,771·24,5 = 129

Atsakymas

ŷ = 129

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1