Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 41, 47, 59, 57, 49, 48, 44.
n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 10. Raskite rezultato 160 z įvertį z.
μ = 170σ = 10x = 160
z =
3.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 5 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 5
P =
4.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X + 5. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 3X + 5
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 12 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 477,9 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12< 477.9 g
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 95%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
30 elementų imties vidurkis – 107, standartinis nuokrypis s = 2,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 30x̄ = 107s = 2,599%t(29) = 2,756
apatinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 31. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 31E = 495%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 250; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 40. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 257,6. Tikrinkite H₀: μ = 250 prieš H₁: μ ≠ 250. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 250σ = 40n = 100x̄ = 257,6H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100 atliekamas, kai α = 0.10, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 8. Iš tikrųjų vidurkis lygus 97.9. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 100μ = 97,9σ = 8n = 64α = 0,10
1 − β = %
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 132Σy = 686Σx² = 2974Σy² = 80506Σxy = 15460
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7,5, 76). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(7,5, 76)
e =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 6,55
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 345/7 = 49,29
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−8,286)² + (−2,286)² + 9,714² + 7,714² + (−0,2857)² + (−1,286)² + (−5,286)² = 257,4
Standartinis nuokrypis
s = √(257,4/6) = 6,55
Atsakymas
s = 6,55
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −1
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (160 − 170)/10 = −1
Atsakymas
z = −1
3.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5981
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Atsakymas
P = 0,5981
4.Tikimybė
Atsakymas: σY = 2,414
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Tiesinis pokytis
σY = |3|·0,8047 = 2,414
Atsakymas
σY = 2,414
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·0,95 + 5 = 7,85.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,305
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 480 g, σT = 1,2·√12 = 4,157 g
Standartizuokite
z = (477,9 − 480)/4,157 = −0,51
Tikimybė
P = Φ(−0,51) = 0,305
Atsakymas
P = 0,305
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 258,2 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,95 → z = 1,645
Atgal į x
x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g
Atsakymas
x = 258,22 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 105,7
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 29, t = 2,756
Paklaidos riba
E = 2,756·2,5/√30 = 1,258
Intervalas
107 ± 1,258 → [105,7, 108,3]
Atsakymas
apatinis rėžis = 105,7
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 231
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·31/4)² = 230,7
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 231
Atsakymas
n = 231
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,05743
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (257,6 − 250)/4 = 1,9
Uodegos plotas
Φ(1,9) = 0,9713
1 − Φ(1,9) = 0,0287
p reikšmė
p = 2·0,0287 = 0,05743
Atsakymas
p = 0,05743
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 79,33 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 − 1,282·1 = 98,72
z esant tikrajam vidurkiui
z = (98,72 − 97,9)/1 = 0,818
Galia
galia = P(Z < 0.818) = 79.33%
1 − β = 79,33%
Atsakymas
1 − β = 79,33%
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,966
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 15460 − 132·686/6 = 368
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80506 − 686²/6 = 2073
Koreliacijos koeficientas
r = 368/√(70·2073) = 0,966
Atsakymas
r = 0,966
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −5,305
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 422/6 = 70,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96
Regresijos tiesė
b = 96/17,5 = 5,486
a = 70,33 − 5,486·5,5 = 40,16
ŷ = 40,16 + 5,486·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 40,16 + 5,486·7,5 = 81,3
Liekana
e = 76 − 81,3 = −5,305
Atsakymas
e = −5,305
Taškas yra po tiese.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1