Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
15202530354045505560

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 12, 57, 19, 60, 34, 54.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 80?

μ = 100σ = 10x = 80
P =
3.TikimybėVidutinis
raudoni: 6mėlyni: 3

Maišelyje yra 6 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

6 / 3
P =
4.TikimybėSunkus
n = 11, p = 0,6: P(X = 1) = ?k01234567891011

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,6, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 1?

n = 11p = 0,6k = 1
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
436542P = ?

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 436 ir 542 h? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 542
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
35455565758595tšk.viršus 5%

egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 5 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.5%
x = tšk.
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 66 h, žinomas standartinis nuokrypis 19 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 53 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 80x̄₁ = 66 hσ₁ = 19 hn₂ = 30x̄₂ = 53 hσ₂ = 4 h99%
E = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 30, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,595%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 30. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 30E = 2,595%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
−1,961,96z = ?

Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 40 detalių imties vidutinis ilgis 70,5 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 9 mm. 2 linija: 80 detalių imties vidurkis 75,2 mm, žinomas standartinis nuokrypis 12 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).

n₁ = 40x̄₁ = 70,5 mmσ₁ = 9 mmn₂ = 80x̄₂ = 75,2 mmσ₂ = 12 mm
z =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
z −2,57602,576

25 matavimų imties vidurkis – 99,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 99,2σ = 8n = 2599%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy1697189620112221272414226143xy2025100120140

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy153818492164247627863096xy15202530406080100ŷ = 92

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 92?

n = 6ŷ = 92
x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 20,7

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 236/6 = 39,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−27,33)² + 17,67² + (−20,33)² + 20,67² + (−5,333)² + 14,67² = 2143

Standartinis nuokrypis

s = √(2143/5) = 20,7

Atsakymas

s = 20,7
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = −2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4167

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Atsakymas

P = 0,4167
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,0006921

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binominė formulė

P(X = 1) = 11·0,61·0,410 = 11·0,6·0,0001049 = 0,0006921

Atsakymas

P = 0,0006921
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7983

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6
z₂ = (542 − 500)/40 = 1,05

Plotas tarp

P = Φ(1,05) − Φ(−1,6) = 0,8531 − 0,0548 = 0,7983

Atsakymas

P = 0,7983
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 81,4 tšk.

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,95

z iš lentelės

z ≈ 1,64

Atgal į pradinius vienetus

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 tšk.

Atsakymas

x = 81,4 tšk.
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 5,786 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 66 − 53 = 13

Standartinė paklaida

SE = √(19²/80 + 4²/30) = 2,246

Paklaidos riba

E = 2,576·2,246 = 5,786

Atsakymas

E = 5,786 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 554

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·30/2,5)² = 553,2

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 554

Atsakymas

n = 554
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −2,403

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Skirtumo standartinė paklaida

SE = √(9²/40 + 12²/80) = √3,825 = 1,956

Testo statistika

z = (70,5 − 75,2)/1,956 = −2,403

Atsakymas

z = −2,403

|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 103,3

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·8/√25 = 4,122

Intervalo rėžis

U = 99,2 + 4,122 = 103,3

Atsakymas

U = 103,3
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9399

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 126/6 = 21
ȳ = 717/6 = 119,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 383
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2230

Determinacijos koeficientas

r² = 383²/(70·2230) = 0,9399

Atsakymas

r² = 0,9399

Apie 93,99% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 28,56

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 409/6 = 68,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 619,5

Regresijos tiesė

b = 619,5/157,5 = 3,933
a = 68,17 − 3,933·22,5 = −20,33
ŷ = −20,33 + 3,933·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (92 − (−20,33))/3,933 = 28,56

Atsakymas

x = 28,56

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1