Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 47, 11, 33, 23, 51.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 66,25 z įvertį z.

μ = 60σ = 5x = 66,25

z =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 6 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

6 / 6

P =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,7, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?

n = 7p = 0,7k = 3

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 174,5 ir 186,75 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x₁ = 174,5x₂ = 186,75

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 90 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 elementų imties vidurkis – 36, standartinis nuokrypis s = 12,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 7x̄ = 36s = 12,590%t(6) = 1,943

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

21 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 3,1 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 20, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 9,591, o 2,5 % – aukščiau 34,17.

n = 21s = 3,1 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 73,8, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,8s = 8n = 36

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 499,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 499,3σ = 12n = 6490%

U =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 43?

n = 5ŷ = 43

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,61

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 165/5 = 33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 14² + (−22)² + 0² + (−10)² + 18² = 1104

Standartinis nuokrypis

s = √(1104/4) = 16,61

Atsakymas

s = 16,61

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 1,25

Standartizuokite

z = (66,25 − 60)/5 = 1,25

Atsakymas

z = 1,25

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2273

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 6/12 · 5/11 = 30/132 = 0,2273

Atsakymas

P = 0,2273

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,09724

Binominė formulė

P(X = 3) = 35·0,7³·0,3⁴ = 35·0,343·0,0081 = 0,09724

Atsakymas

P = 0,09724

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,5858

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (174,5 − 178)/7 = −0,5

z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25

Plotas tarp

P = Φ(1,25) − Φ(−0,5) = 0,8944 − 0,3085 = 0,5858

Atsakymas

P = 0,5858

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 187 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,9

z iš lentelės

z ≈ 1,28

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

Atsakymas

x = 187 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 45,18

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 1,943

Paklaidos riba

E = 1,943·12,5/√7 = 9,18

Intervalas

36 ± 9,18 → [26,82, 45,18]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 45,18

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 4,477 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 20·3,1² = 192,2

σ² rėžiai

192,2/34,17 = 5,625

192,2/9,591 = 20,04

σ rėžis

σ = √20,04 = 4,477 µm

Atsakymas

σ = 4,477 µm

σ 95 % intervalas: [2,372, 4,477] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Testo statistika

t = (73,8 − 75)/1,333 = −0,9

Atsakymas

t = −0,9

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 501,8

Paklaidos riba

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Intervalo rėžis

U = 499,3 + 2,468 = 501,8

Atsakymas

U = 501,8

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9966

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 794/6 = 132,3

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 1041

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 6927

Koreliacijos koeficientas

r = 1041/√(157,5·6927) = 0,9966

Atsakymas

r = 0,9966

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 1,552

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 236/5 = 47,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 29

Regresijos tiesė

b = 29/10 = 2,9

a = 47,2 − 2,9·3 = 38,5

ŷ = 38,5 + 2,9·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (43 − 38,5)/2,9 = 1,552

Atsakymas

x = 1,552

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1