Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 21, 29, 53, 32, 20, 54.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 104,8?

μ = 100σ = 8x = 104,8

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,05, 0,35, 0,35

σ =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 2X + 1

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9070. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9070

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

11 elementų imties vidurkis – 51, standartinis nuokrypis s = 10. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 11x̄ = 51s = 1090%t(10) = 1,812

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 112, standartinis nuokrypis 6. 2 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 125,7, standartinis nuokrypis 11,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 8x̄₁ = 112s₁ = 6n₂ = 6x̄₂ = 125,7s₂ = 11,5

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

100 matavimų imties vidurkis – 197,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 197,2σ = 12n = 10099%

U =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,17

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 209/6 = 34,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−13,83)² + (−5,833)² + 18,17² + (−2,833)² + (−14,83)² + 19,17² = 1151

Standartinis nuokrypis

s = √(1151/5) = 15,17

Atsakymas

s = 15,17

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,7257

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Atsakymas

P = 0,7257

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,166

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,25 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,35 = 2,8

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,2

Dispersija

Var(X) = 9,2 − 2,8² = 1,36

σ = √1,36 = 1,166

Atsakymas

σ = 1,166

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 1,609

X sklaida

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·0,8047 = 1,609

Atsakymas

σ_Y = 1,609

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·0,95 + 1 = 2,9.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,68

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9070)/2 = 0,9535

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9535 ir nuskaitykite z.

z = 1,68

Atsakymas

z = 1,68

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 22,13 min

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 32 + −1,645·6 = 22,13 min

Atsakymas

x = 22,13 min

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 45,54

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Paklaidos riba

E = 1,812·10/√11 = 5,463

Intervalas

51 ± 5,463 → [45,54, 56,46]

Atsakymas

apatinis rėžis = 45,54

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Apvalinkite aukštyn

n = 1037

Atsakymas

n = 1037

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,908

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (7·6² + 5·11,5²)/12 = 76,1

s_p = 8,724

Standartinė paklaida

SE = 8,724·√(1/8 + 1/6) = 4,711

Testo statistika

t = (112 − 125,7)/4,711 = −2,908

Atsakymas

t = −2,908

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 200,3

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 2,576·12/√100 = 3,091

Intervalo rėžis

U = 197,2 + 3,091 = 200,3

Atsakymas

U = 200,3

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9895

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 399/6 = 66,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 361

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1902

Koreliacijos koeficientas

r = 361/√(70·1902) = 0,9895

Atsakymas

r = 0,9895

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 35,55

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 287/6 = 47,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107,5

Regresijos tiesė

b = 107,5/17,5 = 6,143

a = 47,83 − 6,143·3,5 = 26,33

ŷ = 26,33 + 6,143·x

Prognozė

ŷ = 26,33 + 6,143·1,5 = 35,55

Atsakymas

ŷ = 35,55

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1