Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 20, 43, 13, 25, 42, 49.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 86?
μ = 70σ = 8x = 86
P =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,2, 0,35, 0,25
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,1. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 9p = 0,1
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9576. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9576
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 10 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm10%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 10, o standartinis nuokrypis 0,7. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n = 7d̄ = 10sd = 0,799%t(6) = 3,707
viršutinis rėžis = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,1. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,025?
p ≈ 0,1E = 0,02595%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 116, standartinis nuokrypis 5. 2 grupė: 20 studentų, vidutinis rezultatas 110,2, standartinis nuokrypis 3,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 6x̄₁ = 116s₁ = 5n₂ = 20x̄₂ = 110,2s₂ = 3,5
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80 atliekamas, kai α = 0.10, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 15. Iš tikrųjų vidurkis lygus 73.7. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 80μ = 73,7σ = 15n = 25α = 0,10
1 − β = %
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 36Σy = 412Σx² = 286Σy² = 30140Σxy = 2830
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5, 19). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(5, 19)
e =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,59
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 192/6 = 32
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−12)² + 11² + (−19)² + (−7)² + 10² + 17² = 1064
Standartinis nuokrypis
s = √(1064/5) = 14,59
Atsakymas
s = 14,59
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,9772
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Atsakymas
P = 0,9772
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 112,8
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,2 + 20·0,2 + 30·0,35 + 40·0,25 = 26,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,2 + 400·0,2 + 900·0,35 + 1600·0,25 = 815
Dispersija
Var(X) = 815 − 26,5² = 112,8
Atsakymas
Var(X) = 112,8
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,7748
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,99 = 0,3874
P(X = 1) = 9·0,1·0,98 = 0,3874
Sudėkite
P = 0,3874 + 0,3874 = 0,7748
Atsakymas
P = 0,7748
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 2,03
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9576)/2 = 0,9788
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9788 ir nuskaitykite z.
z = 2,03
Atsakymas
z = 2,03
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 169 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,1
z iš lentelės
z ≈ −1,28
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 − 1,28·7 = 169 cm
Atsakymas
x = 169 cm
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 10,98 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 6, t = 3,707
Paklaidos riba
E = 3,707·0,7/√7 = 0,9808
Intervalas
10 ± 0,9808 → [9,019, 10,98]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 10,98 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 554
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 1,96²·0,1·0,9/0,025² = 553,2
Apvalinkite aukštyn
n = 554
Atsakymas
n = 554
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 3,227
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (5·5² + 19·3,5²)/24 = 14,91
sp = 3,861
Standartinė paklaida
SE = 3,861·√(1/6 + 1/20) = 1,797
Testo statistika
t = (116 − 110,2)/1,797 = 3,227
Atsakymas
t = 3,227
Kai df = 24, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,064; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 79,33 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 15/√25 = 3
x̄c = 80 − 1,282·3 = 76,15
z esant tikrajam vidurkiui
z = (76,15 − 73,7)/3 = 0,818
Galia
galia = P(Z < 0.818) = 79.33%
1 − β = 79,33%
Atsakymas
1 − β = 79,33%
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,995
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 2830 − 36·412/6 = 358
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 30140 − 412²/6 = 1849
Koreliacijos koeficientas
r = 358/√(70·1849) = 0,995
Atsakymas
r = 0,995
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 5,05
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 79/5 = 15,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74
Regresijos tiesė
b = 74/40 = 1,85
a = 15,8 − 1,85·6 = 4,7
ŷ = 4,7 + 1,85·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 4,7 + 1,85·5 = 13,95
Liekana
e = 19 − 13,95 = 5,05
Atsakymas
e = 5,05
Taškas yra virš tiesės.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1