Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 46, 44, 24, 28, 26, 15, 15.
n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 107,5 z įvertį z.
μ = 100σ = 5x = 107,5
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 10X − 3
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 745,1 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745,1 g
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,05 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 3,6. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 9 stebėjimais, paklaidos riba E₂?
99%n₁ = 36E₁ = 3,695%n₂ = 9
E₂ =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 10 sklypų, vidutinis derlius 43,5 kg, standartinis nuokrypis 3,5 kg. 2 sklypų grupė: 16 sklypų, vidurkis 36 kg, standartinis nuokrypis 7,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 10x̄₁ = 43,5s₁ = 3,5n₂ = 16x̄₂ = 36s₂ = 7,599%t(24) = 2,797
viršutinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
11 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas 10,28, o skirtumų standartinis nuokrypis 11. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 11d̄ = 10,28sd = 11
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 40 iš 100 pacientų, gydytų A būdu, ir 27 iš 80 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 40n₁ = 100x₂ = 27n₂ = 80
z =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5Σx = 35Σy = 325Σx² = 285Σy² = 21571Σxy = 2403
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 97?
n = 6ŷ = 97
x =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 12,5
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 198/7 = 28,29
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 17,71² + 15,71² + (−4,286)² + (−0,2857)² + (−2,286)² + (−13,29)² + (−13,29)² = 937,4
Standartinis nuokrypis
s = √(937,4/6) = 12,5
Atsakymas
s = 12,5
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 1,5
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (107,5 − 100)/5 = 1,5
Atsakymas
z = 1,5
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,6475
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Dispersija
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Atsakymas
Var(X) = 0,6475
4.Tikimybė
Atsakymas: σY = 8,047
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Tiesinis pokytis
σY = |10|·0,8047 = 8,047
Atsakymas
σY = 8,047
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·0,95 − 3 = 6,5.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6915
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standartizuokite
z = (745,1 − 750)/9,849 = −0,5
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−0,5) = 1 − 0,3085 = 0,6915
Atsakymas
P = 0,6915
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9875
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24
Tikimybė
P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875
Atsakymas
P = 0,9875
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 5,478
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(36/9) = 1,522
Nauja paklaidos riba
E₂ = 3,6·1,522 = 5,478
Atsakymas
E₂ = 5,478
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 14,61 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (9·3,5² + 15·7,5²)/24 = 39,75
sp = 6,305
Paklaidos riba
E = 2,797·6,305·√(1/10 + 1/16) = 7,109
Intervalas
7,5 ± 7,109 → [0,3913, 14,61]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 14,61 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 3,1
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 11/√11 = 3,317
Testo statistika
t = 10,28/3,317 = 3,1
Atsakymas
t = 3,1
Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 0,862
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 40/100 = 0,4
p̂₂ = 27/80 = 0,3375
p̂ = 67/180 = 0,3722
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,3722·0,6278·(1/100 + 1/80)) = 0,07251
Testo statistika
z = (0,4 − 0,3375)/0,07251 = 0,862
Atsakymas
z = 0,862
|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9583
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 2403 − 35·325/5 = 128
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 21571 − 325²/5 = 446
Koreliacijos koeficientas
r = 128/√(40·446) = 0,9583
Atsakymas
r = 0,9583
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 22,21
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 132/6 = 22
ȳ = 575/6 = 95,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 381
Regresijos tiesė
b = 381/70 = 5,443
a = 95,83 − 5,443·22 = −23,91
ŷ = −23,91 + 5,443·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (97 − (−23,91))/5,443 = 22,21
Atsakymas
x = 22,21
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1