Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 53, 46, 57, 28, 60, 14.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 44?
μ = 50σ = 12x = 44
P =
3.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 12 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 12k = 4
N =
4.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €5. Laimite €20 su tikimybe 0,1 ir €250 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €5€20: p = 0,1€250: p = 0,01
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 20,3 ir 33,5 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 20,3x2 = 33,5
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 5%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 101,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 99 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n₁ = 40x̄₁ = 101,5 hσ₁ = 10 hn₂ = 30x̄₂ = 99 hσ₂ = 7 h99%
E = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 16E = 195%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 116,7, imties standartinis nuokrypis – 12. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 116,7s = 12n = 64
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
64 matavimų imties vidurkis – 102,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 102,4σ = 12n = 6490%
L =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 18,22
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 258/6 = 43
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 10² + 3² + 14² + (−15)² + 17² + (−29)² = 1660
Standartinis nuokrypis
s = √(1660/5) = 18,22
Atsakymas
s = 18,22
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,3085
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −0,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Atsakymas
P = 0,3085
3.Tikimybė
Atsakymas: N = 495
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495
Atsakymas
N = 495
4.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −0,5 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 15 (p = 0,1), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)
Laukiamoji vertė
E(G) = 15·0,1 + 245·0,01 − 5·0,89 = −0,5 €
Atsakymas
E(G) = −0,5 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,5731
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95
z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25
Plotas tarp
P = Φ(0,25) − Φ(−1,95) = 0,5987 − 0,02559 = 0,5731
Atsakymas
P = 0,5731
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 241,8 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 250 + −1,645·5 = 241,78 g
Atsakymas
x = 241,78 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 5,237 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 101,5 − 99 = 2,5
Standartinė paklaida
SE = √(10²/40 + 7²/30) = 2,033
Paklaidos riba
E = 2,576·2,033 = 5,237
Atsakymas
E = 5,237 h
Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 984
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·16/1)² = 983,4
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 984
Atsakymas
n = 984
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,2
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5
Testo statistika
t = (116,7 − 120)/1,5 = −2,2
Atsakymas
t = −2,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 99,93
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·12/√64 = 2,468
Intervalo rėžis
L = 102,4 − 2,468 = 99,93
Atsakymas
L = 99,93
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9868
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 540/5 = 108
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1958
Determinacijos koeficientas
r² = 278²/(40·1958) = 0,9868
Atsakymas
r² = 0,9868
Apie 98,68% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 61,2
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 285/5 = 57
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Regresijos tiesė
b = 168/40 = 4,2
a = 57 − 4,2·6 = 31,8
ŷ = 31,8 + 4,2·x
Prognozė
ŷ = 31,8 + 4,2·7 = 61,2
Atsakymas
ŷ = 61,2
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1