Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 54, 23, 47, 21, 36, 23.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 56 z įvertį z.
μ = 60σ = 8x = 56
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,2, 0,3
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 7p = 0,6
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 199,6 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,6 mm
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
8 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −8,1, o standartinis nuokrypis 3,7. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 8d̄ = −8,1sd = 3,799%t(7) = 3,499
apatinis rėžis = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5?
σ = 10E = 0,595%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 12. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 498,12. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 500σ = 12n = 144x̄ = 498,12H₁: μ < μ₀
p =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
49 matavimų imties vidurkis – 199,4. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 199,4σ = 4n = 4999%
L =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 141Σy = 527Σx² = 3471Σy² = 49435Σxy = 13082
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,03
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 204/6 = 34
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = 20² + (−11)² + 13² + (−13)² + 2² + (−11)² = 984
Standartinis nuokrypis
s = √(984/5) = 14,03
Atsakymas
s = 14,03
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −0,5
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (56 − 60)/8 = −0,5
Atsakymas
z = −0,5
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 112,8
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,15 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,3 = 26,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,15 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,3 = 815
Dispersija
Var(X) = 815 − 26,5² = 112,8
Atsakymas
Var(X) = 112,8
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,01884
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,47 = 0,001638
P(X = 1) = 7·0,6·0,46 = 0,0172
Sudėkite
P = 0,001638 + 0,0172 = 0,01884
Atsakymas
P = 0,01884
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7881
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standartizuokite
z = (199,6 − 200)/0,5 = −0,8
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 245,8 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Atgal į x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Atsakymas
x = 245,79 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −12,68 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 7, t = 3,499
Paklaidos riba
E = 3,499·3,7/√8 = 4,577
Intervalas
−8,1 ± 4,577 → [−12,68, −3,523]
Atsakymas
apatinis rėžis = −12,68 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1537
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·10/0,5)² = 1537
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1537
Atsakymas
n = 1537
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,03005
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 12/√144 = 1
z = (498,12 − 500)/1 = −1,88
Uodegos plotas
Φ(1,88) = 0,9699
1 − Φ(1,88) = 0,0301
p reikšmė
p = 0,03005
Atsakymas
p = 0,03005
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 197,9
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·4/√49 = 1,472
Intervalo rėžis
L = 199,4 − 1,472 = 197,9
Atsakymas
L = 197,9
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9908
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 13082 − 141·527/6 = 697,5
Sxx = 3471 − 141²/6 = 157,5
Syy = 49435 − 527²/6 = 3147
Koreliacijos koeficientas
r = 697,5/√(157,5·3147) = 0,9908
Atsakymas
r = 0,9908
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 13,7
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 105/6 = 17,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 133
Regresijos tiesė
b = 133/70 = 1,9
a = 17,5 − 1,9·7 = 4,2
ŷ = 4,2 + 1,9·x
Prognozė
ŷ = 4,2 + 1,9·5 = 13,7
Atsakymas
ŷ = 13,7
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1