Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 24, 53, 14, 31, 24, 48.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 185 z įvertį z.
μ = 170σ = 12x = 185
z =
3.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 8 raudoni ir 3 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
8 / 3
P =
4.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €5. Laimite €20 su tikimybe 0,25 ir €50 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €5€20: p = 0,25€50: p = 0,05
E(G) = €
5.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 117,8 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 117,8 s
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).
μ = 65σ = 10P = 97,5%
x = tšk.
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 40 telefonų, vidurkis 56 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 43,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 40x̄₁ = 56 hσ₁ = 3 hn₂ = 40x̄₂ = 43,5 hσ₂ = 10 h95%
apatinis rėžis = h
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 30. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 30E = 399%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
36 studentų imties vidutinis rezultatas – 118,8, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,8s = 4n = 36
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 20E = 2,590%
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.
n = 6x = 1,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,16
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 194/6 = 32,33
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−8,333)² + 20,67² + (−18,33)² + (−1,333)² + (−8,333)² + 15,67² = 1149
Standartinis nuokrypis
s = √(1149/5) = 15,16
Atsakymas
s = 15,16
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = 1,25
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (185 − 170)/12 = 1,25
Atsakymas
z = 1,25
3.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5091
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 8/11 · 7/10 = 56/110 = 0,5091
Atsakymas
P = 0,5091
4.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 2,5 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 15 (p = 0,25), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,7)
Laukiamoji vertė
E(G) = 15·0,25 + 45·0,05 − 5·0,7 = 2,5 €
Atsakymas
E(G) = 2,5 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,02275
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standartizuokite
z = (117,8 − 105)/6,403 = 2
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275
Atsakymas
P = 0,02275
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 84,6 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Atgal į x
x = 65 + 1,96·10 = 84,6 tšk.
Atsakymas
x = 84,6 tšk.
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 9,265 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 56 − 43,5 = 12,5
Standartinė paklaida
SE = √(3²/40 + 10²/40) = 1,651
Paklaidos riba
E = 1,96·1,651 = 3,235
Intervalas
12,5 ± 3,235 → [9,265, 15,74]
Atsakymas
apatinis rėžis = 9,265 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 664
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·30/3)² = 663,6
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 664
Atsakymas
n = 664
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −1,8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667
Testo statistika
t = (118,8 − 120)/0,6667 = −1,8
Atsakymas
t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 174
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·20/2,5)² = 173,2
Apvalinkite aukštyn
n = 174
Atsakymas
n = 174
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,942
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 411/6 = 68,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 281
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1198
Determinacijos koeficientas
r² = 281²/(70·1198) = 0,942
Atsakymas
r² = 0,942
Apie 94,2% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 26,72
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 149/6 = 24,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16,5
Regresijos tiesė
b = −16,5/17,5 = −0,9429
a = 24,83 − (−0,9429)·3,5 = 28,13
ŷ = 28,13 − 0,9429·x
Prognozė
ŷ = 28,13 + (−0,9429)·1,5 = 26,72
Atsakymas
ŷ = 26,72
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1