Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 11, 14, 39, 18, 45.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 42,5?

μ = 50σ = 5x = 42,5

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,1, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,05, 0,35, 0,25Y = 2X + 1

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 108,2 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 95%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 elementų imties vidurkis – 38, standartinis nuokrypis s = 10. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 6x̄ = 38s = 1095%t(5) = 2,571

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

20 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 1 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 19, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 8,907, o 2,5 % – aukščiau 32,852.

n = 20s = 1 µmχ² = 8,907, 32,852

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 498,4, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498,4s = 8n = 81

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 106,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 106,6σ = 15n = 2595%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 42Σy = 112Σx² = 364Σy² = 2624Σxy = 976

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 127/5 = 25,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−14,4)² + (−11,4)² + 13,6² + (−7,4)² + 19,6² = 961,2

Standartinis nuokrypis

s = √(961,2/4) = 15,5

Atsakymas

s = 15,5

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,448

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,55

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,85

Dispersija

Var(X) = 3,85 − 1,55² = 1,448

Atsakymas

Var(X) = 1,448

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 4,817

X sklaida

μ = 3, Var(X) = 5,8, σ_X = 2,408

Tiesinis pokytis

σ_Y = |2|·2,408 = 4,817

Atsakymas

σ_Y = 4,817

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·3 + 1 = 7.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,3085

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 81,45 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Atgal į x

x = 65 + 1,645·10 = 81,45 tšk.

Atsakymas

x = 81,45 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 27,5

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 5, t = 2,571

Paklaidos riba

E = 2,571·10/√6 = 10,5

Intervalas

38 ± 10,5 → [27,5, 48,5]

Atsakymas

apatinis rėžis = 27,5

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 1,461 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 19·1² = 19

σ² rėžiai

19/32,852 = 0,5784

19/8,907 = 2,133

σ rėžis

σ = √2,133 = 1,461 µm

Atsakymas

σ = 1,461 µm

σ 95 % intervalas: [0,7605, 1,461] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Testo statistika

t = (498,4 − 500)/0,8889 = −1,8

Atsakymas

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 100,7

Paklaidos riba

E = 1,96·15/√25 = 5,88

Intervalo rėžis

L = 106,6 − 5,88 = 100,7

Atsakymas

L = 100,7

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9937

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 976 − 42·112/6 = 192

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2624 − 112²/6 = 533,3

Koreliacijos koeficientas

r = 192/√(70·533,3) = 0,9937

Atsakymas

r = 0,9937

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 24,34

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 132/6 = 22

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41

Regresijos tiesė

b = −41/17,5 = −2,343

a = 22 − (−2,343)·3,5 = 30,2

ŷ = 30,2 − 2,343·x

Prognozė

ŷ = 30,2 + (−2,343)·2,5 = 24,34

Atsakymas

ŷ = 24,34

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1