Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
1520253035

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 24, 15, 30, 37, 13, 13.

n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 45 z įvertį z.

μ = 50σ = 5x = 45
z =
3.TikimybėVidutinis
P(bent vienas šešetas) = ??1?2?3P(šešetas) = 1/6 kiekvienu metimu

Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 3
P =
4.TikimybėSunkus
xp(x)00,210,0520,3530,240,2μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,05, 0,35, 0,2, 0,2Y = 2X + 10
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas tarp −z ir z = 0,9786

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9786. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9786
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
157164171178185192199cmapačia 40%

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 40 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 20, s = 10,5LUx̄ = 49E = ?95%

20 elementų imties vidurkis – 49, standartinis nuokrypis s = 10,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 20x̄ = 49s = 10,595%t(19) = 2,093
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 24, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Populiacijos standartinis nuokrypis – 24. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?

σ = 24E = 2,590%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,0302,03

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 71,53, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,53s = 8n = 36
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₀x̄c

Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ > 100 atliekamas, kai α = 0,01, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 8. Iš tikrųjų vidurkis lygus 103,7. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 100μ = 103,7σ = 8n = 64α = 0,01
β = %
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy25466138171020xy5105101520

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 61Σx² = 220Σy² = 919Σxy = 448
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy126222324422518xy242025x = 2,5

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.

n = 5x = 2,5
ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,04

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 132/6 = 22

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2² + (−7)² + 8² + 15² + (−9)² + (−9)² = 504

Standartinis nuokrypis

s = √(504/5) = 10,04

Atsakymas

s = 10,04
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −1

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (45 − 50)/5 = −1

Atsakymas

z = −1
3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4213

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Atsakymas

P = 0,4213
4.Tikimybė

Atsakymas: σY = 2,704

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 2,15, Var(X) = 1,827, σX = 1,352

Tiesinis pokytis

σY = |2|·1,352 = 2,704

Atsakymas

σY = 2,704

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·2,15 + 10 = 14,3.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 2,3

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,9786)/2 = 0,9893

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9893 ir nuskaitykite z.

z = 2,30

Atsakymas

z = 2,30
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 176,3 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,4

z iš lentelės

z ≈ −0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Atsakymas

x = 176,3 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 4,914

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 19, t = 2,093

Paklaidos riba

E = 2,093·10,5/√20 = 4,914

Atsakymas

E = 4,914
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 250

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,645·24/2,5)² = 249,4

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 250

Atsakymas

n = 250
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,602

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Testo statistika

t = (71,53 − 75)/1,333 = −2,602

Atsakymas

t = −2,602
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 8,472 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 + 2,326·1 = 102,3

z esant tikrajam vidurkiui

z = (102,3 − 103,7)/1 = −1,374

II rūšies klaida

galia = P(Z > −1,374) = 91,53%
β = 100% − 91,53% = 8,472%

Atsakymas

β = 8,472%
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9806

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 448 − 30·61/5 = 82
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 919 − 61²/5 = 174,8

Koreliacijos koeficientas

r = 82/√(40·174,8) = 0,9806

Atsakymas

r = 0,9806
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 23,2

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

Regresijos tiesė

b = −16/10 = −1,6
a = 22,4 − (−1,6)·3 = 27,2
ŷ = 27,2 − 1,6·x

Prognozė

ŷ = 27,2 + (−1,6)·2,5 = 23,2

Atsakymas

ŷ = 23,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1