Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 16, 49, 45, 22, 53, 36, 17.
n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 155,6?
μ = 170σ = 12x = 155,6
P =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2
σ =
4.TikimybėSunkus
Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?
n = 11p = 0,3k = 2
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8444. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8444
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 30 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −6,6, o standartinis nuokrypis 7,1. Raskite vidutinio skirtumo 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 7d̄ = −6,6sd = 7,195%t(6) = 2,447
apatinis rėžis = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 35. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 35E = 295%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 55,25, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 55,25s = 20n = 64
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 90 iš 200 pacientų, gydytų A būdu, ir 145 iš 250 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 145n₂ = 250
z =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,64
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 238/7 = 34
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−18)² + 15² + 11² + (−12)² + 19² + 2² + (−17)² = 1468
Standartinis nuokrypis
s = √(1468/6) = 15,64
Atsakymas
s = 15,64
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,1151
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,2
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,2) = 0,1151
P = 0,1151
Atsakymas
P = 0,1151
3.Tikimybė
Atsakymas: σ = 10,62
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,2 + 40·0,2 = 23,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,2 + 1600·0,2 = 665
Dispersija
Var(X) = 665 − 23,5² = 112,8
σ = √112,8 = 10,62
Atsakymas
σ = 10,62
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1998
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 2) = 55·0,32·0,79 = 55·0,09·0,04035 = 0,1998
Atsakymas
P = 0,1998
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,42
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,8444)/2 = 0,9222
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9222 ir nuskaitykite z.
z = 1,42
Atsakymas
z = 1,42
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 247,4 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,3
z iš lentelės
z ≈ −0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g
Atsakymas
x = 247,4 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −13,17 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 6, t = 2,447
Paklaidos riba
E = 2,447·7,1/√7 = 6,567
Intervalas
−6,6 ± 6,567 → [−13,17, −0,03336]
Atsakymas
apatinis rėžis = −13,17 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1177
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·35/2)² = 1176
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 1177
Atsakymas
n = 1177
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 2,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Standartinė paklaida
SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5
Testo statistika
t = (55,25 − 50)/2,5 = 2,1
Atsakymas
t = 2,1
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,743
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Imčių dalys
p̂₁ = 90/200 = 0,45
p̂₂ = 145/250 = 0,58
p̂ = 235/450 = 0,5222
Standartinė paklaida pagal H₀
SE = √(0,5222·0,4778·(1/200 + 1/250)) = 0,04739
Testo statistika
z = (0,45 − 0,58)/0,04739 = −2,743
Atsakymas
z = −2,743
|z| > 1,96, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9568
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 89/6 = 14,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −48,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 146,8
Koreliacijos koeficientas
r = −48,5/√(17,5·146,8) = −0,9568
Atsakymas
r = −0,9568
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 3,8
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 109/5 = 21,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10
Regresijos tiesė
b = −10/10 = −1
a = 21,8 − (−1)·3 = 24,8
ŷ = 24,8 − 1·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (21 − 24,8)/(−1) = 3,8
Atsakymas
x = 3,8
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1