Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
253035404550

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 23, 29, 40, 22, 53.

n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 50. Raskite rezultato 460 z įvertį z.

μ = 500σ = 50x = 460
z =
3.TikimybėVidutinis
xp(x)00,310,3520,35μ = 1,05

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
n = 9, p = 0,6: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 9p = 0,6
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
−3−2−10123znuspalvintas plotas dešinėje nuo z = 0,9625

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9625. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,9625
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
157164171178185192199cmapačia 25%

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 25 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 9, sd​ = 10LU = ?d̄ = −7,1E99%

9 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −7,1, o standartinis nuokrypis 1. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 9d̄ = −7,1sd = 199%t(8) = 3,355
viršutinis rėžis = mmHg
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(10) = 2,2280LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 29 kg, standartinis nuokrypis 1 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 37,5 kg, standartinis nuokrypis 4 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 5x̄₁ = 29s₁ = 1n₂ = 7x̄₂ = 37,5s₂ = 495%t(10) = 2,228
E = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,0302,03

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 117,6, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,6s = 8n = 36
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₀x̄c

Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ > 80 atliekamas, kai α = 0,10, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 7,5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 82,7. Raskite II rūšies klaidos tikimybę β procentais.

μ₀ = 80μ = 82,7σ = 7,5n = 25α = 0,10
β = %
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy125223321416518xy242025

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 15Σy = 103Σx² = 55Σy² = 2175Σxy = 288
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy16511863207222692483xy2050607080x = 21

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (21, 74). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(21, 74)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,09

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 167/5 = 33,4

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−10,4)² + (−4,4)² + 6,6² + (−11,4)² + 19,6² = 685,2

Standartinis nuokrypis

s = √(685,2/4) = 13,09

Atsakymas

s = 13,09
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,8

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = (460 − 500)/50 = −0,8

Atsakymas

z = −0,8
3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 0,6475

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 1·0,35 + 2·0,35 = 1,05

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,35 + 4·0,35 = 1,75

Dispersija

Var(X) = 1,75 − 1,05² = 0,6475

Atsakymas

Var(X) = 0,6475
4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,003801

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,49 = 0,0002621
P(X = 1) = 9·0,6·0,48 = 0,003539

Sudėkite

P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801

Atsakymas

P = 0,003801
5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = −1,78

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,9625 = 0,0375

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,0375 ir nuskaitykite z.

z = −1,78

Atsakymas

z = −1,78
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 173,3 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,25

z iš lentelės

z ≈ −0,67

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

Atsakymas

x = 173,3 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −5,982 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 8, t = 3,355

Paklaidos riba

E = 3,355·1/√9 = 1,118

Intervalas

−7,1 ± 1,118 → [−8,218, −5,982]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −5,982 mmHg
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 4,125 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (4·1² + 6·4²)/10 = 10
sp = 3,162

Paklaidos riba

E = 2,228·3,162·√(1/5 + 1/7) = 4,125

Atsakymas

E = 4,125 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,8

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Testo statistika

t = (117,6 − 120)/1,333 = −1,8

Atsakymas

t = −1,8
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: β = 30,22 %

Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritinis imties vidurkis

SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 80 + 1,282·1,5 = 81,92

z esant tikrajam vidurkiui

z = (81,92 − 82,7)/1,5 = −0,518

II rūšies klaida

galia = P(Z > −0,518) = 69,78%
β = 100% − 69,78% = 30,22%

Atsakymas

β = 30,22%
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9105

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

Sxy = 288 − 15·103/5 = −21
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2175 − 103²/5 = 53,2

Koreliacijos koeficientas

r = −21/√(10·53,2) = −0,9105

Atsakymas

r = −0,9105
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 2,9

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 338/5 = 67,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Regresijos tiesė

b = 140/40 = 3,5
a = 67,6 − 3,5·20 = −2,4
ŷ = −2,4 + 3,5·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −2,4 + 3,5·21 = 71,1

Liekana

e = 74 − 71,1 = 2,9

Atsakymas

e = 2,9

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1