Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 24, 40, 27, 13, 40, 53.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 410?

μ = 500σ = 60x = 410

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,1, 0,05, 0,3, 0,2

σ =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,4

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 740,2 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 740,2 g

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 60 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 7,9. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 200 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

99%n₁ = 100E₁ = 7,995%n₂ = 200

E₂ =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 11. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 11E = 295%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 8 studentų, vidutinis rezultatas 119, standartinis nuokrypis 2,5. 2 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 128,6, standartinis nuokrypis 9. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 8x̄₁ = 119s₁ = 2,5n₂ = 6x̄₂ = 128,6s₂ = 9

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 20. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 20E = 199%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 23?

n = 6ŷ = 23

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,25

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 197/6 = 32,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−8,833)² + 7,167² + (−5,833)² + (−19,83)² + 7,167² + 20,17² = 1015

Standartinis nuokrypis

s = √(1015/5) = 14,25

Atsakymas

s = 14,25

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Standartizuokite

z = −1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,609

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,2 = 1,9

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,2 = 6,2

Dispersija

Var(X) = 6,2 − 1,9² = 2,59

σ = √2,59 = 1,609

Atsakymas

σ = 1,609

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2333

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,6⁶ = 0,04666

P(X = 1) = 6·0,4·0,6⁵ = 0,1866

Sudėkite

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Atsakymas

P = 0,2333

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Standartizuokite

z = (740,2 − 750)/9,849 = −1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 248,8 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,4

z iš lentelės

z ≈ −0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 0,25·5 = 248,8 g

Atsakymas

x = 248,8 g

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 4,25

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(100/200) = 0,538

Nauja paklaidos riba

E₂ = 7,9·0,538 = 4,25

Atsakymas

E₂ = 4,25

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 117

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·11/2)² = 116,2

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 117

Atsakymas

n = 117

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,907

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (7·2,5² + 5·9²)/12 = 37,4

s_p = 6,115

Standartinė paklaida

SE = 6,115·√(1/8 + 1/6) = 3,303

Testo statistika

t = (119 − 128,6)/3,303 = −2,907

Atsakymas

t = −2,907

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 2655

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (2,576·20/1)² = 2654

Apvalinkite aukštyn

n = 2655

Atsakymas

n = 2655

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9926

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 161,2

Determinacijos koeficientas

r² = 80²/(40·161,2) = 0,9926

Atsakymas

r² = 0,9926

Apie 99,26% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 2,307

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 120/6 = 20

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −44

Regresijos tiesė

b = −44/17,5 = −2,514

a = 20 − (−2,514)·3,5 = 28,8

ŷ = 28,8 − 2,514·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (23 − 28,8)/(−2,514) = 2,307

Atsakymas

x = 2,307

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1