Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 12, 59, 50, 23, 56, 45, 21.
n = 7
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 178?
μ = 170σ = 8x = 178
P =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15
Var(X) =
4.TikimybėSunkus
Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 9p = 0,3k = 4
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7995. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,7995
z =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,02 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 elementų imties vidurkis – 79, standartinis nuokrypis s = 17,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n = 13x̄ = 79s = 17,599%t(12) = 3,055
apatinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 10E = 295%
n =
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 250; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 12. Atsitiktinės 64 stebėjimų imties vidurkis 248,26. Tikrinkite H₀: μ = 250 prieš H₁: μ ≠ 250. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 250σ = 12n = 64x̄ = 248,26H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50 atliekamas, kai α = 0.05, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 7.5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 46.7. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 50μ = 46,7σ = 7,5n = 25α = 0,05
1 − β = %
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (9, 35). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(9, 35)
e =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 18,92
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 266/7 = 38
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−26)² + 21² + 12² + (−15)² + 18² + 7² + (−17)² = 2148
Standartinis nuokrypis
s = √(2148/6) = 18,92
Atsakymas
s = 18,92
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,8413
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
3.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 112,8
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,3 + 20·0,2 + 30·0,35 + 40·0,15 = 23,5
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,2 + 900·0,35 + 1600·0,15 = 665
Dispersija
Var(X) = 665 − 23,5² = 112,8
Atsakymas
Var(X) = 112,8
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1715
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 4) = 126·0,34·0,75 = 126·0,0081·0,1681 = 0,1715
Atsakymas
P = 0,1715
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,28
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,7995)/2 = 0,8997
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,8997 ir nuskaitykite z.
z = 1,28
Atsakymas
z = 1,28
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8133
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Atsakymas
P = 0,8133
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 64,17
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Paklaidos riba
E = 3,055·17,5/√13 = 14,83
Intervalas
79 ± 14,83 → [64,17, 93,83]
Atsakymas
apatinis rėžis = 64,17
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 97
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·10/2)² = 96,04
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 97
Atsakymas
n = 97
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,246
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 12/√64 = 1,5
z = (248,26 − 250)/1,5 = −1,16
Uodegos plotas
Φ(1,16) = 0,8770
1 − Φ(1,16) = 0,1230
p reikšmė
p = 2·0,1230 = 0,246
Atsakymas
p = 0,246
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 71,06 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 50 − 1,645·1,5 = 47,53
z esant tikrajam vidurkiui
z = (47,53 − 46,7)/1,5 = 0,555
Galia
galia = P(Z < 0.555) = 71.06%
1 − β = 71,06%
Atsakymas
1 − β = 71,06%
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9854
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 128/6 = 21,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 204
Syy = Σ(y − ȳ)² = 603,3
Determinacijos koeficientas
r² = 204²/(70·603,3) = 0,9854
Atsakymas
r² = 0,9854
Apie 98,54% y kitimo paaiškinama tiese.
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 3,55
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 101/5 = 20,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
Regresijos tiesė
b = 150/40 = 3,75
a = 20,2 − 3,75·6 = −2,3
ŷ = −2,3 + 3,75·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = −2,3 + 3,75·9 = 31,45
Liekana
e = 35 − 31,45 = 3,55
Atsakymas
e = 3,55
Taškas yra virš tiesės.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1