Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 28, 43, 57, 40, 14, 33, 58.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 76,25?

μ = 70σ = 5x = 76,25

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,1, 0,25, 0,3

σ =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,35Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0749. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,0749

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

21 elementų imties vidurkis – 96, standartinis nuokrypis s = 8. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 21x̄ = 96s = 890%t(20) = 1,725

viršutinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,4. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,05?

p ≈ 0,4E = 0,0599%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 250; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 20. Atsitiktinės 100 stebėjimų imties vidurkis 252,28. Tikrinkite H₀: μ = 250 prieš H₁: μ ≠ 250. Raskite p reikšmę p.

μ₀ = 250σ = 20n = 100x̄ = 252,28H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 9. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 90%δ = 1,5σ = 9z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 8?

n = 5ŷ = 8

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,73

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 273/7 = 39

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−11)² + 4² + 18² + 1² + (−25)² + (−6)² + 19² = 1484

Standartinis nuokrypis

s = √(1484/6) = 15,73

Atsakymas

s = 15,73

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8944

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Atsakymas

P = 0,8944

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,631

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,3 + 1·0,05 + 2·0,1 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,05 + 4·0,1 + 9·0,25 + 16·0,3 = 7,5

Dispersija

Var(X) = 7,5 − 2,2² = 2,66

σ = √2,66 = 1,631

Atsakymas

σ = 1,631

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 1,236

X sklaida

μ = 3,3, Var(X) = 6,11, σ_X = 2,472

Tiesinis pokytis

σ_Y = |0,5|·2,472 = 1,236

Atsakymas

σ_Y = 1,236

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·3,3 + 1 = 2,65.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,44

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,0749 = 0,9251

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9251 ir nuskaitykite z.

z = 1,44

Atsakymas

z = 1,44

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 119,2 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Atgal į x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 tšk.

Atsakymas

x = 119,22 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 99,01

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Paklaidos riba

E = 1,725·8/√21 = 3,011

Intervalas

96 ± 3,011 → [92,99, 99,01]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 99,01

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 638

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,4·0,6/0,05² = 637

Apvalinkite aukštyn

n = 638

Atsakymas

n = 638

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: p = 0,2543

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Testo statistika

SE = σ/√n = 20/√100 = 2

z = (252,28 − 250)/2 = 1,14

Uodegos plotas

Φ(1,14) = 0,8729

1 − Φ(1,14) = 0,1271

p reikšmė

p = 2·0,1271 = 0,2543

Atsakymas

p = 0,2543

p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 469

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,282)·9/1,5)² = 468,6

Apvalinkite aukštyn

n = 469

Atsakymas

n = 469

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = −0,9785

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 131/6 = 21,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 170,8

Koreliacijos koeficientas

r = −53,5/√(17,5·170,8) = −0,9785

Atsakymas

r = −0,9785

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 3

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 76/5 = 15,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Regresijos tiesė

b = 96/40 = 2,4

a = 15,2 − 2,4·6 = 0,8

ŷ = 0,8 + 2,4·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (8 − 0,8)/2,4 = 3

Atsakymas

x = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1