Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 56, 24, 39, 25, 52, 40.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 75?

μ = 50σ = 20x = 75

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,25, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €2. Laimite €4 su tikimybe 0,3 ir €40 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €2€4: p = 0,3€40: p = 0,05

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0559. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,0559

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 40 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.40%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

11 elementų imties vidurkis – 114,5, standartinis nuokrypis s = 18,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 11x̄ = 114,5s = 18,599%t(10) = 3,169

E =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 40. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 40E = 290%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 48,23, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,23s = 4n = 49

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 10E = 2,595%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 9.

n = 5x = 9

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,26

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 236/6 = 39,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 16,67² + (−15,33)² + (−0,3333)² + (−14,33)² + 12,67² + 0,6667² = 879,3

Standartinis nuokrypis

s = √(879,3/5) = 13,26

Atsakymas

s = 13,26

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1056

Standartizuokite

z = 1,25

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Atsakymas

P = 0,1056

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 5,64

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,25 + 6·0,35 = 3,4

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,25 + 36·0,35 = 17,2

Dispersija

Var(X) = 17,2 − 3,4² = 5,64

Atsakymas

Var(X) = 5,64

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 1,2 €

Grynosios baigtys

G: 2 (p = 0,3), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,65)

Laukiamoji vertė

E(G) = 2·0,3 + 38·0,05 − 2·0,65 = 1,2 €

Atsakymas

E(G) = 1,2 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,59

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,0559 = 0,9441

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9441 ir nuskaitykite z.

z = 1,59

Atsakymas

z = 1,59

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 103,8 tšk.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,6

z iš lentelės

z ≈ 0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 tšk.

Atsakymas

x = 103,8 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 17,68

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Paklaidos riba

E = 3,169·18,5/√11 = 17,68

Atsakymas

E = 17,68

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1083

Išreikškite n

n = (1,645·40/2)² = 1082

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 1083

Atsakymas

n = 1083

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,098

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714

Testo statistika

t = (48,23 − 50)/0,5714 = −3,098

Atsakymas

t = −3,098

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 62

Išreikškite n

n = (1,96·10/2,5)² = 61,47

Apvalinkite aukštyn

n = 62

Atsakymas

n = 62

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,7764

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 181/5 = 36,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 21

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 56,8

Determinacijos koeficientas

r² = 21²/(10·56,8) = 0,7764

Atsakymas

r² = 0,7764

Apie 77,64% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 28,5

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 96/5 = 19,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Regresijos tiesė

b = 124/40 = 3,1

a = 19,2 − 3,1·6 = 0,6

ŷ = 0,6 + 3,1·x

Prognozė

ŷ = 0,6 + 3,1·9 = 28,5

Atsakymas

ŷ = 28,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1