Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 33, 33, 59, 17, 46.
n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 60 z įvertį z.
μ = 100σ = 20x = 60
z =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,3, 0,15
σ =
4.TikimybėSunkus
Teste yra 9 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?
n = 9p = 0,25k = 3
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Kokia dalis reikšmių yra tarp 468 ir 520 h? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 500σ = 40x1 = 468x2 = 520
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 100 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 11,5. Kokia yra tų pačių duomenų 90 % intervalo paklaidos riba E₂?
99%n₁ = 100E₁ = 11,590%
E₂ =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 11 sklypų, vidutinis derlius 93,5 kg, standartinis nuokrypis 2,5 kg. 2 sklypų grupė: 5 sklypų, vidurkis 93 kg, standartinis nuokrypis 7,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
n₁ = 11x̄₁ = 93,5s₁ = 2,5n₂ = 5x̄₂ = 93s₂ = 7,590%t(14) = 1,761
apatinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −1,83, o skirtumų standartinis nuokrypis 1,4. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = −1,83sd = 1,4
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
100 matavimų imties vidurkis – 497,2. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 497,2σ = 10n = 10099%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 48Σy = 586Σx² = 454Σy² = 59602Σxy = 5094
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 12.
n = 6x = 12
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 15,77
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 188/5 = 37,6
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−4,6)² + (−4,6)² + 21,4² + (−20,6)² + 8,4² = 995,2
Standartinis nuokrypis
s = √(995,2/4) = 15,77
Atsakymas
s = 15,77
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: z = −2
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (60 − 100)/20 = −2
Atsakymas
z = −2
3.Tikimybė
Atsakymas: σ = 10,54
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 10·0,3 + 20·0,25 + 30·0,3 + 40·0,15 = 23
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 100·0,3 + 400·0,25 + 900·0,3 + 1600·0,15 = 640
Dispersija
Var(X) = 640 − 23² = 111
σ = √111 = 10,54
Atsakymas
σ = 10,54
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,2336
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binominė formulė
P(X = 3) = 84·0,253·0,756 = 84·0,01563·0,178 = 0,2336
Atsakymas
P = 0,2336
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4796
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (468 − 500)/40 = −0,8
z₂ = (520 − 500)/40 = 0,5
Plotas tarp
P = Φ(0,5) − Φ(−0,8) = 0,6915 − 0,2119 = 0,4796
Atsakymas
P = 0,4796
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8849
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849
Atsakymas
P = 0,8849
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 7,344
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(100/100) = 0,6386
Nauja paklaidos riba
E₂ = 11,5·0,6386 = 7,344
Atsakymas
E₂ = 7,344
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −3,804 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (10·2,5² + 4·7,5²)/14 = 20,54
sp = 4,532
Paklaidos riba
E = 1,761·4,532·√(1/11 + 1/5) = 4,304
Intervalas
0,5 ± 4,304 → [−3,804, 4,804]
Atsakymas
apatinis rėžis = −3,804 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,202
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 1,4/√6 = 0,5715
Testo statistika
t = −1,83/0,5715 = −3,202
Atsakymas
t = −3,202
Kai df = 5, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,571; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 499,8
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·10/√100 = 2,576
Intervalo rėžis
U = 497,2 + 2,576 = 499,8
Atsakymas
U = 499,8
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9969
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 5094 − 48·586/6 = 406
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 59602 − 586²/6 = 2369
Koreliacijos koeficientas
r = 406/√(70·2369) = 0,9969
Atsakymas
r = 0,9969
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 85,21
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 417/6 = 69,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 275
Regresijos tiesė
b = 275/70 = 3,929
a = 69,5 − 3,929·8 = 38,07
ŷ = 38,07 + 3,929·x
Prognozė
ŷ = 38,07 + 3,929·12 = 85,21
Atsakymas
ŷ = 85,21
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1