Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 52, 12, 47, 15, 10, 11.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 428?

μ = 500σ = 60x = 428

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,25, 0,35, 0,35

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €1. Laimite €4 su tikimybe 0,3 ir €20 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €1€4: p = 0,3€20: p = 0,01

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 6 iš jų bendra masė viršija 235,6 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6> 235,6 g

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 64 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 2,7. Kokia yra 95 % intervalo, pagrįsto 256 stebėjimais, paklaidos riba E₂?

90%n₁ = 64E₁ = 2,795%n₂ = 256

E₂ =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 18. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?

σ = 18E = 395%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 194,5, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 194,5s = 20n = 64

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

49 matavimų imties vidurkis – 119,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 119,5σ = 5n = 4995%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 90Σy = 346Σx² = 1660Σy² = 24752Σxy = 6406

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 30). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(7, 30)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,5

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 147/6 = 24,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 27,5² + (−12,5)² + 22,5² + (−9,5)² + (−14,5)² + (−13,5)² = 1902

Standartinis nuokrypis

s = √(1902/5) = 19,5

Atsakymas

s = 19,5

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,1151

Standartizuokite

z = −1,2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Atsakymas

P = 0,1151

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 3,2

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,05 + 2·0,25 + 4·0,35 + 6·0,35 = 4

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,05 + 4·0,25 + 16·0,35 + 36·0,35 = 19,2

Dispersija

Var(X) = 19,2 − 4² = 3,2

Atsakymas

Var(X) = 3,2

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,4 €

Grynosios baigtys

G: 3 (p = 0,3), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)

Laukiamoji vertė

E(G) = 3·0,3 + 19·0,01 − 1·0,69 = 0,4 €

Atsakymas

E(G) = 0,4 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9332

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 240 g, σ_T = 1,2·√6 = 2,939 g

Standartizuokite

z = (235,6 − 240)/2,939 = −1,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8849

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,025 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,025 = −1,2

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,2) = 0,8849

Atsakymas

P = 0,8849

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 1,609

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(64/256) = 0,5957

Nauja paklaidos riba

E₂ = 2,7·0,5957 = 1,609

Atsakymas

E₂ = 1,609

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 139

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Išreikškite n

n = (1,96·18/3)² = 138,3

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 139

Atsakymas

n = 139

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Testo statistika

t = (194,5 − 200)/2,5 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 118,1

Paklaidos riba

E = 1,96·5/√49 = 1,4

Intervalo rėžis

L = 119,5 − 1,4 = 118,1

Atsakymas

L = 118,1

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9896

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 6406 − 90·346/5 = 178

S_xx = 1660 − 90²/5 = 40

S_yy = 24752 − 346²/5 = 808,8

Koreliacijos koeficientas

r = 178/√(40·808,8) = 0,9896

Atsakymas

r = 0,9896

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 5,333

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 148/6 = 24,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

Regresijos tiesė

b = 230/70 = 3,286

a = 24,67 − 3,286·7 = 1,667

ŷ = 1,667 + 3,286·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 1,667 + 3,286·7 = 24,67

Liekana

e = 30 − 24,67 = 5,333

Atsakymas

e = 5,333

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1