Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 19, 27, 11, 53, 31.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 76?

μ = 70σ = 15x = 76

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,35, 0,2, 0,1Y = 10X − 3

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,1020. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,1020

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 250σ = 5P = 99%

x = g

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

10 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis 8,6, o standartinis nuokrypis 3,2. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 10d̄ = 8,6s_d = 3,299%t(9) = 3,25

apatinis rėžis = mmHg

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 1,7 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.

n = 15s = 1,7 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 51,7, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,7s = 8n = 64

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 199,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 12. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 199,1σ = 12n = 6490%

U =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 69?

n = 5ŷ = 69

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,85

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 141/5 = 28,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−9,2)² + (−1,2)² + (−17,2)² + 24,8² + 2,8² = 1005

Standartinis nuokrypis

s = √(1005/4) = 15,85

Atsakymas

s = 15,85

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 5,64

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,25 = 2,6

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,25 = 12,4

Dispersija

Var(X) = 12,4 − 2,6² = 5,64

Atsakymas

Var(X) = 5,64

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 19,47

X sklaida

μ = 2,1, Var(X) = 3,79, σ_X = 1,947

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·1,947 = 19,47

Atsakymas

σ_Y = 19,47

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·2,1 − 3 = 18.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,27

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,1020 = 0,8980

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8980 ir nuskaitykite z.

z = 1,27

Atsakymas

z = 1,27

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 261,6 g

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Atsakymas

x = 261,63 g

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 5,311 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 9, t = 3,25

Paklaidos riba

E = 3,25·3,2/√10 = 3,289

Intervalas

8,6 ± 3,289 → [5,311, 11,89]

Atsakymas

apatinis rėžis = 5,311 mmHg

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 2,681 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 14·1,7² = 40,46

σ² rėžiai

40,46/26,119 = 1,549

40,46/5,629 = 7,188

σ rėžis

σ = √7,188 = 2,681 µm

Atsakymas

σ = 2,681 µm

σ 95 % intervalas: [1,245, 2,681] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,7

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Testo statistika

t = (51,7 − 50)/1 = 1,7

Atsakymas

t = 1,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 201,6

Paklaidos riba

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Intervalo rėžis

U = 199,1 + 2,468 = 201,6

Atsakymas

U = 201,6

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9641

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 434/6 = 72,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 119

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 839,3

Determinacijos koeficientas

r² = 119²/(17,5·839,3) = 0,9641

Atsakymas

r² = 0,9641

Apie 96,41% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 9,105

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 286/5 = 57,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresijos tiesė

b = 152/40 = 3,8

a = 57,2 − 3,8·6 = 34,4

ŷ = 34,4 + 3,8·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (69 − 34,4)/3,8 = 9,105

Atsakymas

x = 9,105

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1