Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 47, 51, 37, 44.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 50 z įvertį z.

μ = 60σ = 5x = 50

z =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,15, 0,1, 0,15, 0,35

σ =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €3. Laimite €6 su tikimybe 0,15 ir €150 su tikimybe 0,01; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €3€6: p = 0,15€150: p = 0,01

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 201 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 201 mm

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 99 % reikšmių (99-asis procentilis).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = tšk.

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 122,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. 2 modelis: 100 telefonų, vidurkis 136 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 30x̄₁ = 122,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 100x̄₂ = 136 hσ₂ = 3 h90%

E = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 63 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. 2 sklypų grupė: 8 sklypų, vidurkis 61 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 6x̄₁ = 63s₁ = 5,5n₂ = 8x̄₂ = 61s₂ = 5,595%t(12) = 2,179

apatinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 34,5, standartinis nuokrypis 5,5. 2 grupė: 14 studentų, vidutinis rezultatas 30,8, standartinis nuokrypis 2. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 7x̄₁ = 34,5s₁ = 5,5n₂ = 14x̄₂ = 30,8s₂ = 2

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 5E = 2,595%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 25,5.

n = 6x = 25,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 5,263

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 221/5 = 44,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−2,2)² + 2,8² + 6,8² + (−7,2)² + (−0,2)² = 110,8

Standartinis nuokrypis

s = √(110,8/4) = 5,263

Atsakymas

s = 5,263

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −2

Standartizuokite

z = (50 − 60)/5 = −2

Atsakymas

z = −2

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,631

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,35 = 2,2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,35 = 7,5

Dispersija

Var(X) = 7,5 − 2,2² = 2,66

σ = √2,66 = 1,631

Atsakymas

σ = 1,631

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = −0,6 €

Grynosios baigtys

G: 3 (p = 0,15), 147 (p = 0,01), −3 (p = 0,84)

Laukiamoji vertė

E(G) = 3·0,15 + 147·0,01 − 3·0,84 = −0,6 €

Atsakymas

E(G) = −0,6 €

Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,02275

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartizuokite

z = (201 − 200)/0,5 = 2

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 88,26 tšk.

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Atgal į x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 tšk.

Atsakymas

x = 88,26 tšk.

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 4,532 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 122,5 − 136 = −13,5

Standartinė paklaida

SE = √(15²/30 + 3²/100) = 2,755

Paklaidos riba

E = 1,645·2,755 = 4,532

Atsakymas

E = 4,532 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −4,472 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (5·5,5² + 7·5,5²)/12 = 30,25

s_p = 5,5

Paklaidos riba

E = 2,179·5,5·√(1/6 + 1/8) = 6,472

Intervalas

2 ± 6,472 → [−4,472, 8,472]

Atsakymas

apatinis rėžis = −4,472 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,28

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (6·5,5² + 13·2²)/19 = 12,29

s_p = 3,506

Standartinė paklaida

SE = 3,506·√(1/7 + 1/14) = 1,623

Testo statistika

t = (34,5 − 30,8)/1,623 = 2,28

Atsakymas

t = 2,28

Kai df = 19, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,093; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 16

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,96·5/2,5)² = 15,37

Apvalinkite aukštyn

n = 16

Atsakymas

n = 16

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9773

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 496/5 = 99,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1703

Determinacijos koeficientas

r² = 258²/(40·1703) = 0,9773

Atsakymas

r² = 0,9773

Apie 97,73% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 142

Vidurkiai

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 852/6 = 142

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 990

Regresijos tiesė

b = 990/157,5 = 6,286

a = 142 − 6,286·25,5 = −18,29

ŷ = −18,29 + 6,286·x

Prognozė

ŷ = −18,29 + 6,286·25,5 = 142

Atsakymas

ŷ = 142

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1