Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis
x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana
vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis
z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys
68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis
P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis
z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x
P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp
Φ(z2) − Φ(z1)
Procentilis
x = μ + z·σ

Metodas

  1. Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
  2. Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
  3. Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
  4. Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas
x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis
n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

  1. Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
  2. Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
  3. Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
  4. Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t testas vidurkiui
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
atmeskite H0, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas
x̄ ± z·σ/√n

Metodas

  1. Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
  2. Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
  3. Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
  4. H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas
b = Sxy/Sxx
Laisvasis narys
a = ȳ − b·x̄
Koreliacija
r = Sxy/√(SxxSyy)
Liekana
e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis
25303540455055

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 57, 31, 24, 39, 55.

n = 5
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
z −2−1012

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 90?

μ = 50σ = 20x = 90
P =
3.TikimybėVidutinis
n = 12k = 3N = ?

Keliais būdais N iš 12 žmonių grupės galima išrinkti 3 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 12k = 3
N =
4.TikimybėSunkus
xp(x)00,310,220,1530,35μ

X turi parodytą skirstinį, o Y = 0,5X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,15, 0,35Y = 0,5X + 10
σY =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
65,580P = ?

Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 65,5 ir 80 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 65σ = 10x1 = 65,5x2 = 80
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
157164171178185192199cmapačia 40%

suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 40 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
n = 13, s = 15LU = ?x̄ = 24,5E95%

13 elementų imties vidurkis – 24,5, standartinis nuokrypis s = 15. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 13x̄ = 24,5s = 1595%t(12) = 2,179
viršutinis rėžis =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
μ₁ − μ₂, t(12) = 2,1790L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 6 sklypų, vidutinis derlius 48,5 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. 2 sklypų grupė: 8 sklypų, vidurkis 52,5 kg, standartinis nuokrypis 1,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 6x̄₁ = 48,5s₁ = 5,5n₂ = 8x̄₂ = 52,5s₂ = 1,595%t(12) = 2,179
apatinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
t −2,06402,064

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 94,8, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 94,8s = 10n = 25
t =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 1,599%
n =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
xy21041762683110431249xy5102040

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
xy2541261982410301236xy510102030x = 3

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3, 14). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(3, 14)
e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,53

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 206/5 = 41,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 15,8² + (−10,2)² + (−17,2)² + (−2,2)² + 13,8² = 844,8

Standartinis nuokrypis

s = √(844,8/4) = 14,53

Atsakymas

s = 14,53
2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,02275

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Standartizuokite

z = 2

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(2) = 0,9772
P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Atsakymas

P = 0,02275
3.Tikimybė

Atsakymas: N = 220

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

Atsakymas

N = 220
4.Tikimybė

Atsakymas: σY = 0,622

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

X sklaida

μ = 1,55, Var(X) = 1,548, σX = 1,244

Tiesinis pokytis

σY = |0,5|·1,244 = 0,622

Atsakymas

σY = 0,622

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·1,55 + 10 = 10,78.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4133

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (65,5 − 65)/10 = 0,05
z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Plotas tarp

P = Φ(1,5) − Φ(0,05) = 0,9332 − 0,5199 = 0,4133

Atsakymas

P = 0,4133
6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 176,3 cm

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,4

z iš lentelės

z ≈ −0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Atsakymas

x = 176,3 cm
7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 33,57

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 12, t = 2,179

Paklaidos riba

E = 2,179·15/√13 = 9,065

Intervalas

24,5 ± 9,065 → [15,43, 33,57]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 33,57
8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −8,39 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

sp² = (5·5,5² + 7·1,5²)/12 = 13,92
sp = 3,731

Paklaidos riba

E = 2,179·3,731·√(1/6 + 1/8) = 4,39

Intervalas

−4 ± 4,39 → [−8,39, 0,39]

Atsakymas

apatinis rėžis = −8,39 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,6

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Testo statistika

t = (94,8 − 100)/2 = −2,6

Atsakymas

t = −2,6
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 189

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (2,576·8/1,5)² = 188,8

Apvalinkite aukštyn

n = 189

Atsakymas

n = 189
11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9958

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 176/6 = 29,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 278
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1113

Koreliacijos koeficientas

r = 278/√(70·1113) = 0,9958

Atsakymas

r = 0,9958
12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 5,229

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 126/6 = 21

Kvadratų ir sandaugų sumos

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 214

Regresijos tiesė

b = 214/70 = 3,057
a = 21 − 3,057·7 = −0,4
ŷ = −0,4 + 3,057·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −0,4 + 3,057·3 = 8,771

Liekana

e = 14 − 8,771 = 5,229

Atsakymas

e = 5,229

Taškas yra virš tiesės.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1