Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 35, 36, 44, 58, 34, 42, 46.

n = 7

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 66?

μ = 70σ = 8x = 66

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,05, 0,3

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,2, 0,2, 0,15, 0,35Y = 10X + 4

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 16 iš jų bendra masė viršija 1288 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1288 kg

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 67,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. 2 modelis: 40 telefonų, vidurkis 78 h, žinomas standartinis nuokrypis 15 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 30x̄₁ = 67,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 40x̄₂ = 78 hσ₂ = 15 h95%

E = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 7 sklypų, vidutinis derlius 45,5 kg, standartinis nuokrypis 2,5 kg. 2 sklypų grupė: 19 sklypų, vidurkis 55,5 kg, standartinis nuokrypis 4 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 7x̄₁ = 45,5s₁ = 2,5n₂ = 19x̄₂ = 55,5s₂ = 495%t(24) = 2,064

viršutinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 76,75, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,75s = 20n = 64

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 1,5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 9. Raskite mažiausią imties dydį n.

α = 0,01galia = 95%δ = 1,5σ = 9z_α = 2,326z_β = 1,645

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 110Σy = 643Σx² = 2460Σy² = 83935Σxy = 14360

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (6, 64). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(6, 64)

e =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 8,415

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 295/7 = 42,14

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−7,143)² + (−6,143)² + 1,857² + 15,86² + (−8,143)² + (−0,1429)² + 3,857² = 424,9

Standartinis nuokrypis

s = √(424,9/6) = 8,415

Atsakymas

s = 8,415

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6915

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,2

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,15 + 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,05 + 4·0,3 = 2

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,05 + 16·0,3 = 6,2

Dispersija

Var(X) = 6,2 − 2² = 2,2

Atsakymas

Var(X) = 2,2

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 13,96

X sklaida

μ = 3,45, Var(X) = 1,947, σ_X = 1,396

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·1,396 = 13,96

Atsakymas

σ_Y = 13,96

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·3,45 + 4 = 38,5.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9332

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Standartizuokite

z = (1288 − 1360)/48 = −1,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 166,5 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm

Atsakymas

x = 166,49 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 7,375 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 67,5 − 78 = −10,5

Standartinė paklaida

SE = √(16²/30 + 15²/40) = 3,763

Paklaidos riba

E = 1,96·3,763 = 7,375

Atsakymas

E = 7,375 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −6,639 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (6·2,5² + 18·4²)/24 = 13,56

s_p = 3,683

Paklaidos riba

E = 2,064·3,683·√(1/7 + 1/19) = 3,361

Intervalas

−10 ± 3,361 → [−13,36, −6,639]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −6,639 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 0,7

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√64 = 20/8 = 2,5

Testo statistika

t = (76,75 − 75)/2,5 = 0,7

Atsakymas

t = 0,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 568

Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.

Išreikškite n

n = ((2,326 + 1,645)·9/1,5)² = 567,7

Apvalinkite aukštyn

n = 568

Atsakymas

n = 568

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9589

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 14360 − 110·643/5 = 214

S_xx = 2460 − 110²/5 = 40

S_yy = 83935 − 643²/5 = 1245

Koreliacijos koeficientas

r = 214/√(40·1245) = 0,9589

Atsakymas

r = 0,9589

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −4,833

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 413/6 = 68,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285

Regresijos tiesė

b = 285/70 = 4,071

a = 68,83 − 4,071·6 = 44,4

ŷ = 44,4 + 4,071·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 44,4 + 4,071·6 = 68,83

Liekana

e = 64 − 68,83 = −4,833

Atsakymas

e = −4,833

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1