Aprašomoji statistika
- Vidurkis
- x̄ = Σx/n
- Imties standartinis nuokrypis
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Normalusis skirstinys
- 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ
Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas
Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
1Formulės ir metodai
Tikimybė
- Priešingas įvykis
- P(not A) = 1 − P(A)
- Sudėties taisyklė
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Nepriklausomi įvykiai
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Sąlyginė tikimybė
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binominis skirstinys
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normalusis skirstinys
- z įvertis
- z = (x − μ)/σ
- Mažiau nei x
- P(X < x) = Φ(z)
- Daugiau nei x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tarp
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Procentilis
- x = μ + z·σ
Metodas
- Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
- Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
- Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
- Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.
Pasikliautinieji intervalai
- σ žinomas
- x̄ ± z·σ/√n
- σ nežinomas
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritinė z reikšmė
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Imties dydis
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodas
- Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
- Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
- Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
- Intervalas: x̄ ± E.
Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
- z testas vidurkiui
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t testas vidurkiui
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo
- atmeskite H0, jei |z| > 1,96
- Pasikliautinasis intervalas
- x̄ ± z·σ/√n
Metodas
- Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
- Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
- Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
- H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.
Tiesinė regresija ir koreliacija
- Kvadratų sumos
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Krypties koeficientas
- b = Sxy/Sxx
- Laisvasis narys
- a = ȳ − b·x̄
- Koreliacija
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Liekana
- e = y − ŷ
2Uždaviniai
1.Aprašomoji statistikaVidutinis
Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 22, 29, 48, 55, 52, 49.
n = 6
s =
2.Aprašomoji statistikaSunkus
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 176,3?
μ = 170σ = 5x = 176,3
P =
3.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,25, 0,35
σ =
4.TikimybėSunkus
Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 6p = 0,6
P =
5.Normalusis skirstinysVidutinis
dėžės masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 12 kg, standartinis nuokrypis 0,8 kg. Raskite tikimybę P, kad 4 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 51,2 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4< 51.2 kg
P =
6.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 30 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g30%
x = g
7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 elementų imties vidurkis – 37, standartinis nuokrypis s = 5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 6x̄ = 37s = 590%t(5) = 2,015
E =
8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 31 kg, standartinis nuokrypis 10 kg. 2 sklypų grupė: 12 sklypų, vidurkis 34 kg, standartinis nuokrypis 4,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.
n₁ = 5x̄₁ = 31s₁ = 10n₂ = 12x̄₂ = 34s₂ = 4,599%t(15) = 2,947
viršutinis rėžis = kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 80; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 5. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 78,26. Tikrinkite H₀: μ = 80 prieš H₁: μ ≠ 80. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 80σ = 5n = 25x̄ = 78,26H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
100 matavimų imties vidurkis – 101,5. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 101,5σ = 15n = 10099%
U =
11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 2,5.
n = 5x = 2,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,58
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Vidurkis
x̄ = 255/6 = 42,5
Nuokrypių kvadratai
Σ(x − x̄)² = (−20,5)² + (−13,5)² + 5,5² + 12,5² + 9,5² + 6,5² = 921,5
Standartinis nuokrypis
s = √(921,5/5) = 13,58
Atsakymas
s = 13,58
2.Aprašomoji statistika
Atsakymas: P = 0,8944
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Atsakymas
P = 0,8944
3.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,014
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,1 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,85
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,1 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9,15
Dispersija
Var(X) = 9,15 − 2,85² = 1,027
σ = √1,027 = 1,014
Atsakymas
σ = 1,014
4.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,04096
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,46 = 0,004096
P(X = 1) = 6·0,6·0,45 = 0,03686
Sudėkite
P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096
Atsakymas
P = 0,04096
5.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9772
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 48 kg, σT = 0,8·√4 = 1,6 kg
Standartizuokite
z = (51,2 − 48)/1,6 = 2
Tikimybė
P = Φ(2) = 0,9772
Atsakymas
P = 0,9772
6.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 252,6 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 + 0,52·5 = 252,6 g
Atsakymas
x = 252,6 g
7.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,113
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 5, t = 2,015
Paklaidos riba
E = 2,015·5/√6 = 4,113
Atsakymas
E = 4,113
8.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 7,107 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (4·10² + 11·4,5²)/15 = 41,52
sp = 6,443
Paklaidos riba
E = 2,947·6,443·√(1/5 + 1/12) = 10,11
Intervalas
−3 ± 10,11 → [−13,11, 7,107]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 7,107 kg
9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,08186
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (78,26 − 80)/1 = −1,74
Uodegos plotas
Φ(1,74) = 0,9591
1 − Φ(1,74) = 0,0409
p reikšmė
p = 2·0,0409 = 0,08186
Atsakymas
p = 0,08186
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 105,4
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·15/√100 = 3,864
Intervalo rėžis
U = 101,5 + 3,864 = 105,4
Atsakymas
U = 105,4
11.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9874
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 111/6 = 18,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 185
Syy = Σ(y − ȳ)² = 501,5
Koreliacijos koeficientas
r = 185/√(70·501,5) = 0,9874
Atsakymas
r = 0,9874
12.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 23,55
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 113/5 = 22,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Regresijos tiesė
b = −19/10 = −1,9
a = 22,6 − (−1,9)·3 = 28,3
ŷ = 28,3 − 1,9·x
Prognozė
ŷ = 28,3 + (−1,9)·2,5 = 23,55
Atsakymas
ŷ = 23,55
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1