Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 37, 49, 29, 37, 14, 48.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 90?

μ = 70σ = 20x = 90

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,25, 0,2, 0,2

σ =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 3X − 3. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,05, 0,35Y = 3X − 3

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 120 mm ir standartinis nuokrypis 0,3 mm; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 80 mm ir standartinis nuokrypis 0,4 mm. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 200,8 mm. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,8 mm

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 95 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g95%

x = g

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 85 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. 2 modelis: 100 telefonų, vidurkis 96 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 50x̄₁ = 85 hσ₁ = 17 hn₂ = 100x̄₂ = 96 hσ₂ = 16 h99%

viršutinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

16 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 9 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 15, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 6,262, o 2,5 % – aukščiau 27,488.

n = 16s = 9 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 201,9, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,9s = 10n = 81

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 150 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 198 iš 300 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 198n₂ = 300

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 49?

n = 6ŷ = 49

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 13,02

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 214/6 = 35,67

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 1,333² + 13,33² + (−6,667)² + 1,333² + (−21,67)² + 12,33² = 847,3

Standartinis nuokrypis

s = √(847,3/5) = 13,02

Atsakymas

s = 13,02

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,8413

Standartizuokite

z = 1

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 11,35

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 10·0,35 + 20·0,25 + 30·0,2 + 40·0,2 = 22,5

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 100·0,35 + 400·0,25 + 900·0,2 + 1600·0,2 = 635

Dispersija

Var(X) = 635 − 22,5² = 128,8

σ = √128,8 = 11,35

Atsakymas

σ = 11,35

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 3,842

X sklaida

μ = 1,4, Var(X) = 1,64, σ_X = 1,281

Tiesinis pokytis

σ_Y = |3|·1,281 = 3,842

Atsakymas

σ_Y = 3,842

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 3·1,4 − 3 = 1,2.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,0548

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartizuokite

z = (200,8 − 200)/0,5 = 1,6

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(1,6) = 1 − 0,9452 = 0,0548

Atsakymas

P = 0,0548

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 258,2 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,95

z iš lentelės

z ≈ 1,64

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g

Atsakymas

x = 258,2 g

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −3,561 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 85 − 96 = −11

Standartinė paklaida

SE = √(17²/50 + 16²/100) = 2,888

Paklaidos riba

E = 2,576·2,888 = 7,439

Intervalas

−11 ± 7,439 → [−18,44, −3,561]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −3,561 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 6,648 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 15·9² = 1215

σ² rėžiai

1215/27,488 = 44,2

1215/6,262 = 194

σ rėžis

σ = √44,2 = 6,648 µm

Atsakymas

σ = 6,648 µm

σ 95 % intervalas: [6,648, 13,93] µm.

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,71

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Testo statistika

t = (201,9 − 200)/1,111 = 1,71

Atsakymas

t = 1,71

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = −1,453

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 150/250 = 0,6

p̂₂ = 198/300 = 0,66

p̂ = 348/550 = 0,6327

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,6327·0,3673·(1/250 + 1/300)) = 0,04128

Testo statistika

z = (0,6 − 0,66)/0,04128 = −1,453

Atsakymas

z = −1,453

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9934

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 391/5 = 78,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 196

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 966,8

Determinacijos koeficientas

r² = 196²/(40·966,8) = 0,9934

Atsakymas

r² = 0,9934

Apie 99,34% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 3,625

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 290/6 = 48,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93

Regresijos tiesė

b = 93/17,5 = 5,314

a = 48,33 − 5,314·3,5 = 29,73

ŷ = 29,73 + 5,314·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (49 − 29,73)/5,314 = 3,625

Atsakymas

x = 3,625

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1