Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 41, 29, 25, 51, 25, 58.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 62?

μ = 50σ = 20x = 62

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,2, 0,25

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = 10X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,25, 0,05, 0,35, 0,1Y = 10X + 10

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 250 ir 260,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 260,25

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 3. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 100 stebėjimų?

95%n₁ = 25E₁ = 3n₂ = 100

E₂ =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,3. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?

p ≈ 0,3E = 0,0395%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 496,8, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496,8s = 5n = 16

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3? Standartinis nuokrypis – 10. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 10E = 395%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,12

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 229/6 = 38,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 2,833² + (−9,167)² + (−13,17)² + 12,83² + (−13,17)² + 19,83² = 996,8

Standartinis nuokrypis

s = √(996,8/5) = 14,12

Atsakymas

s = 14,12

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2743

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Atsakymas

P = 0,2743

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,427

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,35 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,25 = 2,35

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,25 = 6,95

Dispersija

Var(X) = 6,95 − 2,35² = 1,427

Atsakymas

Var(X) = 1,427

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 14

X sklaida

μ = 2,8, Var(X) = 1,96, σ_X = 1,4

Tiesinis pokytis

σ_Y = |10|·1,4 = 14

Atsakymas

σ_Y = 14

Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·2,8 + 10 = 38.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4798

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05

Plotas tarp

P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798

Atsakymas

P = 0,4798

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7389

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartizuokite

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Atsakymas

P = 0,7389

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E₂ = 1,5

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Paklaidos ribų santykis

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/100) = 0,5

Nauja paklaidos riba

E₂ = 3·0,5 = 1,5

Atsakymas

E₂ = 1,5

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 897

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,3·0,7/0,03² = 896,4

Apvalinkite aukštyn

n = 897

Atsakymas

n = 897

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,56

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Testo statistika

t = (496,8 − 500)/1,25 = −2,56

Atsakymas

t = −2,56

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 43

Išreikškite n

n = (1,96·10/3)² = 42,68

Apvalinkite aukštyn

n = 43

Atsakymas

n = 43

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9516

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 86/5 = 17,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 212,8

Determinacijos koeficientas

r² = 90²/(40·212,8) = 0,9516

Atsakymas

r² = 0,9516

Apie 95,16% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 54,18

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 287/6 = 47,83

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55,5

Regresijos tiesė

b = 55,5/17,5 = 3,171

a = 47,83 − 3,171·3,5 = 36,73

ŷ = 36,73 + 3,171·x

Prognozė

ŷ = 36,73 + 3,171·5,5 = 54,18

Atsakymas

ŷ = 54,18

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1