Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 56, 19, 12, 34, 56, 34.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 75. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 462,5?

μ = 500σ = 75x = 462,5

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,1, 0,2

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €10. Laimite €20 su tikimybe 0,15 ir €500 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €10€20: p = 0,15€500: p = 0,05

E(G) = €

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 25,1 ir 33,2 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 25,1x₂ = 33,2

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 91 h, žinomas standartinis nuokrypis 19 h. 2 modelis: 60 telefonų, vidurkis 99 h, žinomas standartinis nuokrypis 14 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 60x̄₁ = 91 hσ₁ = 19 hn₂ = 60x̄₂ = 99 hσ₂ = 14 h90%

apatinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 10 sklypų, vidutinis derlius 18,5 kg, standartinis nuokrypis 10 kg. 2 sklypų grupė: 6 sklypų, vidurkis 18 kg, standartinis nuokrypis 8 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 10x̄₁ = 18,5s₁ = 10n₂ = 6x̄₂ = 18s₂ = 899%t(14) = 2,977

viršutinis rėžis = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 121,1, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,1s = 4n = 36

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 103,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 103,6σ = 15n = 2595%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 30Σy = 74Σx² = 220Σy² = 1272Σxy = 524

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 76?

n = 5ŷ = 76

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,27

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 211/6 = 35,17

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 20,83² + (−16,17)² + (−23,17)² + (−1,167)² + 20,83² + (−1,167)² = 1669

Standartinis nuokrypis

s = √(1669/5) = 18,27

Atsakymas

s = 18,27

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6915

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 2,06

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,2 = 1,8

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,3

Dispersija

Var(X) = 5,3 − 1,8² = 2,06

Atsakymas

Var(X) = 2,06

4.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 18 €

Grynosios baigtys

G: 10 (p = 0,15), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,8)

Laukiamoji vertė

E(G) = 10·0,15 + 490·0,05 − 10·0,8 = 18 €

Atsakymas

E(G) = 18 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4542

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15

z₂ = (33,2 − 32)/6 = 0,2

Plotas tarp

P = Φ(0,2) − Φ(−1,15) = 0,5793 − 0,1251 = 0,4542

Atsakymas

P = 0,4542

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 172,1 cm

Procentilio z

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Atgal į x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Atsakymas

x = 172,11 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −13,01 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 91 − 99 = −8

Standartinė paklaida

SE = √(19²/60 + 14²/60) = 3,047

Paklaidos riba

E = 1,645·3,047 = 5,012

Intervalas

−8 ± 5,012 → [−13,01, −2,988]

Atsakymas

apatinis rėžis = −13,01 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 14,85 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (9·10² + 5·8²)/14 = 87,14

s_p = 9,335

Paklaidos riba

E = 2,977·9,335·√(1/10 + 1/6) = 14,35

Intervalas

0,5 ± 14,35 → [−13,85, 14,85]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 14,85 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,65

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Testo statistika

t = (121,1 − 120)/0,6667 = 1,65

Atsakymas

t = 1,65

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 97,72

Paklaidos riba

E = 1,96·15/√25 = 5,88

Intervalo rėžis

L = 103,6 − 5,88 = 97,72

Atsakymas

L = 97,72

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9513

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 524 − 30·74/5 = 80

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1272 − 74²/5 = 176,8

Koreliacijos koeficientas

r = 80/√(40·176,8) = 0,9513

Atsakymas

r = 0,9513

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 20,6

Vidurkiai

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 411/5 = 82,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 399

Regresijos tiesė

b = 399/90 = 4,433

a = 82,2 − 4,433·22 = −15,33

ŷ = −15,33 + 4,433·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (76 − (−15,33))/4,433 = 20,6

Atsakymas

x = 20,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1