Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 55, 27, 34, 36, 33.

n = 5

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 47,5?

μ = 50σ = 5x = 47,5

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,2, 0,1

σ =

4.TikimybėSunkus

X turi parodytą skirstinį, o Y = −2X + 4. Raskite Y standartinį nuokrypį σ_Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,2, 0,15, 0,25, 0,35Y = −2X + 4

σ_Y =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Kokia dalis reikšmių yra tarp 246 ir 260,25 g? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 250σ = 5x₁ = 246x₂ = 260,25

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

20 elementų imties vidurkis – 57,5, standartinis nuokrypis s = 4. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 20x̄ = 57,5s = 490%t(19) = 1,729

E =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 10 sklypų, vidutinis derlius 11,5 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. 2 sklypų grupė: 11 sklypų, vidurkis 6,5 kg, standartinis nuokrypis 9,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 10x̄₁ = 11,5s₁ = 5,5n₂ = 11x̄₂ = 6,5s₂ = 9,595%t(19) = 2,093

E = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 9 studentų, vidutinis rezultatas 50,5, standartinis nuokrypis 10,5. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 37,1, standartinis nuokrypis 4. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 9x̄₁ = 50,5s₁ = 10,5n₂ = 5x̄₂ = 37,1s₂ = 4

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 100 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 42 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 42n₂ = 120

z =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 5,5.

n = 5x = 5,5

ŷ =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 10,61

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 185/5 = 37

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 18² + (−10)² + (−3)² + (−1)² + (−4)² = 450

Standartinis nuokrypis

s = √(450/4) = 10,61

Atsakymas

s = 10,61

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6915

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Atsakymas

P = 0,6915

3.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,359

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,3 + 2·0,25 + 3·0,15 + 4·0,2 + 5·0,1 = 2,55

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,25 + 9·0,15 + 16·0,2 + 25·0,1 = 8,35

Dispersija

Var(X) = 8,35 − 2,55² = 1,848

σ = √1,848 = 1,359

Atsakymas

σ = 1,359

4.Tikimybė

Atsakymas: σ_Y = 2,551

X sklaida

μ = 2,65, Var(X) = 1,627, σ_X = 1,276

Tiesinis pokytis

σ_Y = |−2|·1,276 = 2,551

Atsakymas

σ_Y = 2,551

Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·2,65 + 4 = −1,3.

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,768

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (246 − 250)/5 = −0,8

z₂ = (260,25 − 250)/5 = 2,05

Plotas tarp

P = Φ(2,05) − Φ(−0,8) = 0,9798 − 0,2119 = 0,768

Atsakymas

P = 0,768

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9515

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Atsakymas

P = 0,9515

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 1,546

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 19, t = 1,729

Paklaidos riba

E = 1,729·4/√20 = 1,546

Atsakymas

E = 1,546

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 7,191 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (9·5,5² + 10·9,5²)/19 = 61,83

s_p = 7,863

Paklaidos riba

E = 2,093·7,863·√(1/10 + 1/11) = 7,191

Atsakymas

E = 7,191 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,706

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (8·10,5² + 4·4²)/12 = 78,83

s_p = 8,879

Standartinė paklaida

SE = 8,879·√(1/9 + 1/5) = 4,952

Testo statistika

t = (50,5 − 37,1)/4,952 = 2,706

Atsakymas

t = 2,706

Kai df = 12, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,179; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 0,9258

Imčių dalys

p̂₁ = 100/250 = 0,4

p̂₂ = 42/120 = 0,35

p̂ = 142/370 = 0,3838

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,3838·0,6162·(1/250 + 1/120)) = 0,05401

Testo statistika

z = (0,4 − 0,35)/0,05401 = 0,9258

Atsakymas

z = 0,9258

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,55

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 175/5 = 35

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 88

Determinacijos koeficientas

r² = 22²/(10·88) = 0,55

Atsakymas

r² = 0,55

Apie 55% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: ŷ = 86,85

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 375/5 = 75

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79

Regresijos tiesė

b = 79/10 = 7,9

a = 75 − 7,9·4 = 43,4

ŷ = 43,4 + 7,9·x

Prognozė

ŷ = 43,4 + 7,9·5,5 = 86,85

Atsakymas

ŷ = 86,85

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1