Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 46, 17, 53, 38, 49, 22.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 5. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 57,5?

μ = 60σ = 5x = 57,5

P =

3.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,25, 0,35, 0,25, 0,05

Var(X) =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 9p = 0,4

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8473. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,8473

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 95 % reikšmių (95-asis procentilis).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 30 telefonų, vidurkis 123 h, žinomas standartinis nuokrypis 13 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 126,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 17 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n₁ = 30x̄₁ = 123 hσ₁ = 13 hn₂ = 30x̄₂ = 126,5 hσ₂ = 17 h95%

viršutinis rėžis = h

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 8 sklypų, vidutinis derlius 17 kg, standartinis nuokrypis 7 kg. 2 sklypų grupė: 18 sklypų, vidurkis 26 kg, standartinis nuokrypis 1 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 8x̄₁ = 17s₁ = 7n₂ = 18x̄₂ = 26s₂ = 195%t(24) = 2,064

E = kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −6,86, o skirtumų standartinis nuokrypis 8,2. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = −6,86s_d = 8,2

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1,5? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 5E = 1,590%

n =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 5

r² =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 66?

n = 5ŷ = 66

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 14,87

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 225/6 = 37,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 8,5² + (−20,5)² + 15,5² + 0,5² + 11,5² + (−15,5)² = 1106

Standartinis nuokrypis

s = √(1106/5) = 14,87

Atsakymas

s = 14,87

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3085

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085

3.Tikimybė

Atsakymas: Var(X) = 1,09

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,35 + 4·0,25 + 5·0,05 = 2,9

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,35 + 16·0,25 + 25·0,05 = 9,5

Dispersija

Var(X) = 9,5 − 2,9² = 1,09

Atsakymas

Var(X) = 1,09

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,07054

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

Sudėkite

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

Atsakymas

P = 0,07054

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,43

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = (1 + 0,8473)/2 = 0,9236

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,9236 ir nuskaitykite z.

z = 1,43

Atsakymas

z = 1,43

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 189,5 cm

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Atgal į x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Atsakymas

x = 189,51 cm

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = 4,158 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 123 − 126,5 = −3,5

Standartinė paklaida

SE = √(13²/30 + 17²/30) = 3,907

Paklaidos riba

E = 1,96·3,907 = 7,658

Intervalas

−3,5 ± 7,658 → [−11,16, 4,158]

Atsakymas

viršutinis rėžis = 4,158 h

Intervalas apima 0, todėl duomenys reikšmingo skirtumo nerodo.

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 3,397 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (7·7² + 17·1²)/24 = 15

s_p = 3,873

Paklaidos riba

E = 2,064·3,873·√(1/8 + 1/18) = 3,397

Atsakymas

E = 3,397 kg

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,898

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Vidutinio skirtumo standartinė paklaida

SE = 8,2/√12 = 2,367

Testo statistika

t = −6,86/2,367 = −2,898

Atsakymas

t = −2,898

Kai df = 11, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,201; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 31

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Išreikškite n

n = (1,645·5/1,5)² = 30,07

Apvalinkite aukštyn

n = 31

Atsakymas

n = 31

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9873

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 227/5 = 45,4

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 243,2

Determinacijos koeficientas

r² = 98²/(40·243,2) = 0,9873

Atsakymas

r² = 0,9873

Apie 98,73% y kitimo paaiškinama tiese.

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 6,538

Vidurkiai

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 300/5 = 60

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 39

Regresijos tiesė

b = 39/10 = 3,9

a = 60 − 3,9·5 = 40,5

ŷ = 40,5 + 3,9·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (66 − 40,5)/3,9 = 6,538

Atsakymas

x = 6,538

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1