Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 18, 55, 34, 12, 16, 12.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 164?

μ = 170σ = 12x = 164

P =

3.TikimybėVidutinis

Maišelyje yra 7 raudoni ir 7 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?

7 / 7

P =

4.TikimybėSunkus

Tikrinami 8 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 8p = 0,4

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,1093. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.

A = 0,1093

z =

6.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 75 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

21 elementų imties vidurkis – 70, standartinis nuokrypis s = 12,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 21x̄ = 70s = 12,599%t(20) = 2,845

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 24. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?

σ = 24E = 295%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

16 studentų imties vidutinis rezultatas – 117,8, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 117,8s = 4n = 16

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

16 matavimų imties vidurkis – 97,1. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 97,1σ = 5n = 1690%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 27Σy = 365Σx² = 139Σy² = 22733Σxy = 1738

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 46?

n = 6ŷ = 46

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 17,01

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 147/6 = 24,5

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−6,5)² + 30,5² + 9,5² + (−12,5)² + (−8,5)² + (−12,5)² = 1448

Standartinis nuokrypis

s = √(1448/5) = 17,01

Atsakymas

s = 17,01

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,3085

Standartizuokite

z = −0,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Atsakymas

P = 0,3085

3.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2308

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pirmas ir antras traukimas

P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308

Atsakymas

P = 0,2308

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,1064

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,6⁸ = 0,0168

P(X = 1) = 8·0,4·0,6⁷ = 0,08958

Sudėkite

P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064

Atsakymas

P = 0,1064

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: z = 1,23

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje nuo z

Φ(z) = 1 − 0,1093 = 0,8907

Skaitykite z lentelę atvirkščiai

Lentelėje suraskite 0,8907 ir nuskaitykite z.

z = 1,23

Atsakymas

z = 1,23

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 253,4 g

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,75

z iš lentelės

z ≈ 0,67

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Atsakymas

x = 253,4 g

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 62,24

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Paklaidos riba

E = 2,845·12,5/√21 = 7,76

Intervalas

70 ± 7,76 → [62,24, 77,76]

Atsakymas

apatinis rėžis = 62,24

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 554

Išreikškite n

n = (1,96·24/2)² = 553,2

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 554

Atsakymas

n = 554

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,2

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

Testo statistika

t = (117,8 − 120)/1 = −2,2

Atsakymas

t = −2,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 95,04

Paklaidos riba

E = 1,645·5/√16 = 2,056

Intervalo rėžis

L = 97,1 − 2,056 = 95,04

Atsakymas

L = 95,04

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9927

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 1738 − 27·365/6 = 95,5

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 22733 − 365²/6 = 528,8

Koreliacijos koeficientas

r = 95,5/√(17,5·528,8) = 0,9927

Atsakymas

r = 0,9927

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 3,485

Vidurkiai

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 333/6 = 55,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82,5

Regresijos tiesė

b = 82,5/17,5 = 4,714

a = 55,5 − 4,714·5,5 = 29,57

ŷ = 29,57 + 4,714·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (46 − 29,57)/4,714 = 3,485

Atsakymas

x = 3,485

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1