Statistikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 12 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 10, 13, 25, 25, 59, 56.

n = 6

s =

2.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 84 z įvertį z.

μ = 100σ = 20x = 84

z =

3.TikimybėVidutinis

Keliais būdais N iš 12 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.

n = 12k = 5

N =

4.TikimybėSunkus

Teste yra 6 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,4, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?

n = 6p = 0,4k = 3

P =

5.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 30,2 ir 35,3 min? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 32σ = 6x₁ = 30,2x₂ = 35,3

P =

6.Normalusis skirstinysSunkus

baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 40 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 500 hσ = 40 h40%

x = h

7.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

7 elementų imties vidurkis – 77,5, standartinis nuokrypis s = 7. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 7x̄ = 77,5s = 799%t(6) = 3,707

apatinis rėžis =

8.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 5E = 199%

n =

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 76,45, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,45s = 4n = 64

t =

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 498. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 498σ = 5n = 2595%

L =

11.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5

r =

12.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 90?

n = 6ŷ = 90

x =

3Tirpalai

1.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 21,19

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 188/6 = 31,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−21,33)² + (−18,33)² + (−6,333)² + (−6,333)² + 27,67² + 24,67² = 2245

Standartinis nuokrypis

s = √(2245/5) = 21,19

Atsakymas

s = 21,19

2.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,8

Standartizuokite

z = (84 − 100)/20 = −0,8

Atsakymas

z = −0,8

3.Tikimybė

Atsakymas: N = 792

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Deriniai

C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792

Atsakymas

N = 792

4.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2765

Binominė formulė

P(X = 3) = 20·0,4³·0,6³ = 20·0,064·0,216 = 0,2765

Atsakymas

P = 0,2765

5.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,3268

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3

z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55

Plotas tarp

P = Φ(0,55) − Φ(−0,3) = 0,7088 − 0,3821 = 0,3268

Atsakymas

P = 0,3268

6.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 490 h

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,4

z iš lentelės

z ≈ −0,25

Atgal į pradinius vienetus

x = 500 − 0,25·40 = 490 h

Atsakymas

x = 490 h

7.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 67,69

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Paklaidos riba

E = 3,707·7/√7 = 9,808

Intervalas

77,5 ± 9,808 → [67,69, 87,31]

Atsakymas

apatinis rėžis = 67,69

8.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 166

Išreikškite n

n = (2,576·5/1)² = 165,9

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 166

Atsakymas

n = 166

9.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 2,9

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Testo statistika

t = (76,45 − 75)/0,5 = 2,9

Atsakymas

t = 2,9

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

10.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 496

Paklaidos riba

E = 1,96·5/√25 = 1,96

Intervalo rėžis

L = 498 − 1,96 = 496

Atsakymas

L = 496

11.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9978

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 340/5 = 68

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 692

Koreliacijos koeficientas

r = 166/√(40·692) = 0,9978

Atsakymas

r = 0,9978

12.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 7,205

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 532/6 = 88,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 456

Regresijos tiesė

b = 456/70 = 6,514

a = 88,67 − 6,514·7 = 43,07

ŷ = 43,07 + 6,514·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (90 − 43,07)/6,514 = 7,205

Atsakymas

x = 7,205

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1