Statybinė mechanika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 10 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniaiAtgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Sijų atramų reakcijos

Pusiausvyra
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tolygi apkrova
atstojamoji w·L apkrovos viduryje
Momentas
M = F·d

Metodas

  1. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą ir kiekvieną atramą pakeiskite jos reakcijomis.
  2. Kiekvieną išskirstytąją apkrovą pakeiskite viena jėga, veikiančia jos svorio centre.
  3. Momentų lygtį užrašykite vienos atramos atžvilgiu ir raskite kitos atramos reakciją.
  4. Likusiai reakcijai rasti naudokite ΣFy = 0 ir patikrinkite antrąja momentų lygtimi.

Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Skersinė jėga ir momentas
V = ΣF vienoje pusėje, M = ΣF·d vienoje pusėje
Lenkimo įtempis
σ = M·y/I
Stačiakampis
I = bh³/12
Atsparumo momentas
W = I/ymax
Laisvai atremta, tolygi apkrova
Mmax = wL²/8

Metodas

  1. Atramų reakcijas raskite iš visos sijos pusiausvyros.
  2. Perpjaukite siją reikiamame pjūvyje ir palikite vieną pusę.
  3. Skersinė jėga: tos pusės vertikaliųjų jėgų suma. Lenkimo momentas: jų momentų pjūvio atžvilgiu suma.
  4. Didžiausiam momentui rasti nustatykite, kur skersinė jėga lygi nuliui.

Santvara: mazgų metodas

Mazgų metodas
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Pjūvių metodas
ΣM = 0 about a cut point
Strypo jėga
teigiama = tempimas, neigiama = gniuždymas

Metodas

  1. Raskite visos santvaros atramų reakcijas.
  2. Mazgų metodas: pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos, ir naudokite ΣFx = 0 ir ΣFy = 0.
  3. Pjūvių metodas: perpjaukite per reikiamą strypą ir užrašykite momentų lygtį taško, kuriame susikerta kiti nežinomi strypai, atžvilgiu.
  4. Tarkite, kad strypas tempiamas; neigiamas atsakymas reiškia gniuždymą.

Sijos įlinkis

Sutelktoji jėga tarpatramio viduryje
δ = PL³/(48EI)
Tolygi apkrova, laisvai atremta sija
δ = 5wL⁴/(384EI)
Gembė, jėga gale
δ = PL³/(3EI)
Gembė, tolygi apkrova
δ = wL⁴/(8EI)
Superpozicija
δ = δ1 + δ2

Kolonų klupimas

Oilerio kritinė jėga
Pcr = π²EI/(KL)²
Skaičiuojamojo ilgio koeficientas
K = 1 šarnyras–šarnyras, 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas
Kritinis įtempis
σcr = Pcr/A
Liaunis
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Uždaviniai

1.Sijų atramų reakcijosVidutinis
w = 5 kN/mP = 50 kNABMA​ = ?7 m3 m

Gembinė sija taške A įtvirtinta sienoje. Ją visu ilgiu veikia tolygiai išskirstyta apkrova w ir sutelktoji jėga P, esanti 7 m atstumu nuo sienos. Raskite reakcijos momento sienoje didumą MA.

L = 10 mP = 50 kN ties 7 mw = 5 kN/m nuo 0 iki 10 m
MA = kN·m
2.Sijų atramų reakcijosSunkus
w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m2,5 m1,5 m

Laisvai atremta sija turi šarnyrinę atramą A ir ritininę atramą B. Raskite vertikaliąją atramos reakciją RB.

L = 5 mP = 25 kN ties 3,5 mw = 10 kN/m nuo 1 iki 5 m
RB = kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentasVidutinis
10 kN/m10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Žymės nuo A iki G padalija siją į šešias lygias dalis. Ties kuria žyme lenkimo momentas yra didžiausias dydžiu, įlenkiantis ar išlenkiantis? Spustelėkite ją diagramoje.

10 kN @ 6 m10 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentasSunkus
w = 10 kN/mP = 30 kNABpjūvis4 m2 m4 m

Raskite lenkimo momentą Mx pjūvyje x = 6 m nuo atramos A. Teigiamais laikykite momentus, tempiančius apatinius sluoksnius, ir aukštyn nukreiptą skersinę jėgą kairiajame paviršiuje.

L = 10 mP = 30 kN ties 4 mw = 10 kN/m nuo 0 iki 10 mx = 6 m
Mx = kN·m
5.Santvara: mazgų metodasVidutinis
ABCDEFGH40 kN30 kN25 kN20 kN4 × 3 m3 m

Tiksliai vienas šios santvaros elementas neneša jėgos esant šioms apkrovoms. Kuris yra nulinės jėgos elementas? Spustelėkite jį diagramoje.

B: 40 kN ↓C: 30 kN ↓G: 25 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1elementas AB
  2. 2elementas BC
  3. 3elementas CD
  4. 4elementas DE
  5. 5elementas FG
  6. 6elementas GH
  7. 7elementas AF
  8. 8elementas HE
  9. 9elementas BF
  10. 10elementas CG
  11. 11elementas DH
  12. 12elementas FC
  13. 13elementas HC
6.Santvara: mazgų metodasSunkus
ABBCACACB45 kN25 kN8 m2 m3 m

Mazgų metodu raskite jėgą FAC strype AC. Tempimą nurodykite teigiamu, gniuždymą – neigiamu.

tarpatramis = 8 maukštis = 3 mB yra 2 m nuo Avertikalioji apkrova = 45 kNhorizontalioji apkrova = 25 kN ←
FAC = kN
7.Sijos įlinkisVidutinis
w = 10 kN/mδL = 3 m

Gembė visu ilgiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Raskite laisvojo galo įlinkį δ.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aliuminis)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Sijos įlinkisSunkus
w = 2,5 kN/mABδ6 m

Laisvai atremta stačiakampio skerspjūvio medinė sija, 150 mm pločio, visu tarpatramiu apkrauta tolygiai išskirstyta apkrova w. Jos įlinkis tarpatramio viduryje negali viršyti tarpatramis/250. Raskite mažiausią skerspjūvio aukštį hreq.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (konstrukcinė mediena)b = 150 mm
hreq = mm
9.Kolonų klupimasVidutinis
PL = 1,5 m20 × 100 mmskerspjūvis

L ilgio kolona iš medžiagos (plienas) yra šarnyriškai atremta abiejuose galuose. Pagal Oilerio formulę raskite jos kritinę klupimo jėgą Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (plienas)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.Kolonų klupimasSunkus
P = 5 kNL = 1,5 md = ?skerspjūvis

Pilnavidurė apvali L ilgio kolona iš medžiagos (aliuminis) yra įtvirtinta apačioje ir laisva viršuje. Ji turi atlaikyti 5 kN su 3 atsargos koeficientu klupimui. Raskite mažiausią skersmenį d.

P = 5 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aliuminis)
d = mm

3Tirpalai

1.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: MA = 600 kN·m

Gembės pusiausvyra: įtvirtinimas gali stumti aukštyn ir priešintis posūkiui, todėl jame atsiranda vertikalioji reakcija RA ir reakcijos momentas MA. ΣFy = 0 duoda RA, o momentai sienos atžvilgiu duoda MA = Σ(apkrova × atstumas nuo sienos). Išskirstytoji apkrova veikia kaip jos atstojamoji apkrovos diagramos svorio centre.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji

W = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m

Momentas sienos atžvilgiu

MA = P·a + W·x̄ = 50·7 + 50·5 = 600 kN·m

Atsakymas

MA = 600 kN·m
2.Sijų atramų reakcijos

Atsakymas: RB = 41,5 kN

Statinė pusiausvyra: rimties būsenos kūnui ΣFx = 0, ΣFy = 0 ir ΣM = 0 bet kurio taško atžvilgiu. Imant momentus vienos atramos atžvilgiu, tos atramos reakcija dingsta iš lygties.

w = 10 kN/mP = 25 kNABRA​RB​1 m2,5 m1,5 m

Laisvojo kūno diagrama

Atramas pakeiskite reakcijos jėgomis. Ritininė atrama duoda vieną vertikaliąją reakciją; kai apkrovos tik vertikalios, šarnyrinė atrama taip pat duoda vieną vertikaliąją reakciją.

Pusiausvyra

Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę. Tada vertikaliųjų jėgų pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, veikianti taške x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3,5 + 10·4·3
RB = 207,5/5 = 41,5 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 41,5 = 23,5 kN

Atsakymas

RB = 41,5 kN
3.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: D (x = 6 m)

Didžiausias lenkimo momentas: M nuolydis keičiasi ten, kur keičiasi skersinė jėga, todėl jo viršūnės yra ten, kur skersinė jėga kerta nulį: po koncentruota apkrova, paskirstytos apkrovos viduje arba virš gembės atramos. Įtvirtintoje gembės atramoje momentas didžiausias prie sienos. Palyginkite M dydį tose vietose, įlenkiantį ar išlenkiantį.

Atramų reakcijos

Paimkite momentus apie vieną atramą, tada naudokite vertikalių jėgų balansą.

R1 = 65 kN, R2 = 65 kN

Lenkimo momentas ties kiekviena žyme

Susumuokite visų vienoje pjūvio pusėje esančių jėgų momentus. Įlenkiantis teigiamas, išlenkiantis neigiamas.

MA = 0, MB = 110, MC = 180, MD = 210 kN·m, ME = 180, MF = 110, MG = 0

Atsakymas

Žymė D: MD = 210 kN·m
4.Skersinė jėga ir lenkimo momentas

Atsakymas: Mx = 168 kN·m

Pjūvių metodas: perpjaukite siją ten, kur norite rasti vidines jėgas, ir palikite vieną pusę. Skersinė jėga V atsveria tos pusės vertikaliąsias jėgas, o lenkimo momentas M – jų momentus pjūvio atžvilgiu.

Atramų reakcijos

Visos sijos pusiausvyra.

Išskirstytosios apkrovos atstojamoji: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, veikianti taške x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·4 + 10·10·5
RB = 620/10 = 62 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 62 = 68 kN
w = 10 kN/mP = 30 kNABRA​ = 68RB​ = 62pjūvis4 m2 m4 m

Perpjaukite ties x = 6 m ir palikite kairiąją dalį

Įskaitomos tik jėgos kairiau pjūvio. Išskirstytosios apkrovos dalis veikia kaip viena jėga tos dalies viduryje.

M = RA·x − (kiekviena apkrova kairiau pjūvio × jos atstumas iki pjūvio)
Mx = 68·6 − 30·(6 − 4) − 10·6·3 = 168 kN·m

Atsakymas

Mx = 168 kN·m
5.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: elementas DH

Nulinės jėgos elementai: mazge jėgos turi atsvirti visomis kryptimis. Jei mazgas neturi apkrovos ir atramos, o du iš trijų jo elementų yra vienoje linijoje, tai pusiausvyra skersai tos linijos apima tik trečiąjį elementą, todėl jo jėga lygi nuliui. Jei neapkrautame mazge susitinka tik du elementai ir jie nėra vienoje linijoje, abu yra nulis.

Mazgas D

CD ir DE yra vienoje tiesėje, o mazgas neapkrautas. Subalansavus jėgas skersai tos linijos lieka tik DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

Patikrinkite mazgų metodu

Išsprendus visus mazgus gaunamos šios elementų jėgos (T = tempimas, C = gniuždymas).

AB: 62,5 kN (T), BC: 62,5 kN (T), CD: 52,5 kN (T), DE: 52,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 88,39 kN (C), HE: 74,25 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 31,82 kN (T), HC: 45,96 kN (T)

Atsakymas

Nulinės jėgos elementas: DH
6.Santvara: mazgų metodas

Atsakymas: FAC = 3,75 kN

Mazgų metodas: kiekvienas santvaros mazgas yra pusiausvyroje, todėl kiekviename mazge ΣFx = 0 ir ΣFy = 0. Pradėkite nuo mazgo, kuriame ne daugiau kaip dvi nežinomos strypų jėgos. Neigiamas rezultatas reiškia, kad strypas gniuždomas.

ABBCACACB45 kN25 kNAy​Cy​Ax​

Atramų reakcijos

Visos santvaros pusiausvyra. Momentai A atžvilgiu, teigiami prieš laikrodžio rodyklę.

ΣMA = 0: Cy·8 = 45·2 − 25·3 → Cy = 1,875 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 1,875 = 43,13 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

Mazgas C

Ritininė atrama duoda tik vertikaliąją reakciją, todėl mazge C yra tik dvi nežinomos strypų jėgos. Tarkite, kad abu tempiami.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −1,875/0,4472 = −4,193 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−4,193)·0,8944 = 3,75 kN

Atsakymas

FAC = 3,75 kN (tempimas)
7.Sijos įlinkis

Atsakymas: δ = 40,18 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Įlinkis

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 40,18 mm

Atsakymas

δ = 40,18 mm
8.Sijos įlinkis

Atsakymas: hreq = 233,8 mm

Sijų įlinkis: įlinkiai gaunami du kartus integruojant kreivį M/(EI). Tipiniai atvejai pateikti lentelėse, pavyzdžiui, PL³/(3EI) gembei su jėga gale ir 5wL⁴/(384EI) laisvai atremtai sijai su tolygia apkrova visame tarpatramyje. Atskirų apkrovų įlinkiai sumuojami (superpozicija).

Suderinti vienetai

Skaičiuokite N ir mm: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Įlinkio riba

δallow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Reikiamas inercijos momentas

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·24) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Reikiamas aukštis

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,598 × 10⁸/150)1/3 = 233,8 mm

Atsakymas

hreq = 233,8 mm

Praktikoje parinkite artimiausią didesnį standartinį aukštį.

9.Kolonų klupimas

Atsakymas: Pcr = 58,49 kN

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Mažiausias inercijos momentas

Stačiakampis klumpa silpnosios ašies atžvilgiu, naudojant mažesnio matmens kubą.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Skaičiuojamasis ilgis

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritinė jėga

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1500² = 58487 N = 58,49 kN

Atsakymas

Pcr = 58,49 kN
10.Kolonų klupimas

Atsakymas: d = 44,67 mm

Oilerio klupimas: liauna kolona netenka pastovumo, kai Pcr = π²EI/(KL)², kur KL – skaičiuojamasis ilgis: K = 1 šarnyras–šarnyras, 2 įtvirtinimas–laisvas galas, 0,7 įtvirtinimas–šarnyras ir 0,5 įtvirtinimas–įtvirtinimas. Kolona klumpa ašies su mažiausiu I atžvilgiu. Formulė galioja liaunoms kolonoms, kurių kritinis įtempis mažesnis už takumo ribą.

Reikiama kritinė jėga

Pcr = n·P = 3·5000 = 15000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

Išreiškite skersmenį

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 44,67 mm

Atsakymas

d = 44,67 mm

Patikra: liaunis KL/r yra 268,7, todėl kolona liauna ir Oilerio formulė galioja.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis