Kalkulus 1: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 8 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Pengoptimuman

Kaedah: tulis Q(x) dengan satu pemboleh ubah, selesaikan Q′(x) = 0, semak Q″ atau titik hujung
Maksimum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Silinder tertutup: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Untung: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(4x² − 5x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 5x) − 2xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x².

f(x) = (e^0.5x − 1 − 0.5x)/x²x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Cari f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = −x² − 4x − 3 pada x = 2 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = −x² − 4x − 3x = 2

b =

5.PengoptimumanSederhana

Sebuah kotak terbuka (tanpa penutup) dengan tapak segi empat sama mesti memuatkan 32000 cm³. Gunakan bahan sesedikit mungkin, iaitu luas terkecil bagi tapak ditambah empat sisi. Cari luas permukaan minimum S.

V = 32000 cm³

S = cm²

6.PengoptimumanSukar

Sebuah syarikat menjual q unit seminggu. Harga jualan unit tersebut ialah p = 60 − 0.2q euro seunit, dan kosnya ialah C(q) = 900 + 25q euro. Cari harga p yang memaksimumkan keuntungan.

p = 60 − 0.2qC = 900 + 25q

p = €

7.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

8.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 4 − x² dan paksi-x.

y = 4 − x²

A =

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −1.25

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −5x/(√(4x² − 5x) + 2x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −5/(√(4 + (−5)/x) + 2)

Biarkan x → ∞

L = −5/(2 + 2) = −1.25

Jawapan

L = −1.25

2.Had

Jawapan: L = 0.125

Penggunaan pertama

(0.5·e^0.5x − 0.5)/(2x) → 0/0

Penggunaan kedua

0.25·e^0.5x/2

Gantikan x = 0

L = 0.25·1/2 = 0.125

Jawapan

L = 0.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = −3.371

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Gantikan

f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371

Jawapan

f′(2) = −3.371

4.Terbitan

Jawapan: b = 1

Titik dan kecerunan

f(2) = −15

f′(x) = −2x − 4 → f′(2) = −8

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −15 − (−8)·2 = 1

Jawapan

b = 1

5.Pengoptimuman

Jawapan: S = 4800 cm²

Pengoptimuman: tulis kuantiti yang hendak dioptimumkan sebagai fungsi satu pemboleh ubah, dengan menggunakan kekangan untuk menghapuskan pemboleh ubah yang lain. Tetapkan terbitan sama dengan sifar dan selesaikan. Semak bahawa titik genting ialah maksimum atau minimum (terbitan kedua atau perubahan tanda terbitan pertama) dan bahawa ia terletak dalam julat yang dibenarkan; titik hujung seperti panjang sisi sifar bukanlah jawapannya.

Luas sebagai fungsi x

S(x) = x² + 128000/x

Tetapkan terbitan kepada sifar

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, maka ini ialah minimum.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Tinggi dan luas

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Jawapan

S = 4800 cm²

Kotak terbuka yang terbaik adalah separuh setinggi lebarnya.

6.Pengoptimuman

Jawapan: p = 42.5 €

Fungsi keuntungan

P(q) = (60 − 0.2q)·q − (900 + 25q) = −0.2q² + 35q − 900

Tetapkan terbitan kepada sifar

P″(q) = −0.4 < 0, maka ini ialah maksimum.

q = 35/0.4 = 87.5

Harga dan keuntungan

p = 60 − 0.2·87.5 = €42.5

P = 35·87.5 − 0.2·87.5² − 900 = €631.3

Jawapan

p = €42.5

7.Kamiran

Jawapan: I = 0.8647

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = e^−x/(−1)

Nilaikan pada had

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0.1353 − 1)/(−1) = 0.8647

Jawapan

I = 0.8647

8.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Sifar

4 − x² = 0 → x = ±2

Kamirkan

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

Jawapan

A = 10.67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1