Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(2x), dengan x dalam radian.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(2x)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x²·e^x. Cari f′(1.5).

f(x) = x²·e^xx = 1.5

f′(1.5) =

4.TerbitanSukar

Garis tangen kepada f(x) = x² + 2x − 5 pada x = 3 memotong paksi-y pada y = b. Cari b.

f(x) = x² + 2x − 5x = 3

b =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x dalam radian).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = 0.5x² dan y = 2x.

y = 0.5x²y = 2x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 6∠−155° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian khayalan b.

r = 6θ = −155°

b =

8.Nombor kompleksSukar

Tepat satu daripada titik A–D ialah punca bagi z³ = 8∠60°. Klik titik itu.

w = 8∠60°n = 3

1A (1∠20°)
2B (2∠−20°)
3C (2∠80°)
4D (2∠20°)

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 6y′ + 9y = 0 dengan y(0) = 2 dan y′(0) = 2. Cari y(1.5).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 2y′(0) = 2

y(1.5) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y″ + 4y′ + 8y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 0 (dilepaskan dari pegun). Cari y(0.5); sudut dalam radian.

y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.5) =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−4 −3 3; −1 5 −5; −5 5 0]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [6 1; −7 −2]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Daya malar F = (20, −15, −15) N bertindak pada sesuatu objek semasa ia bergerak dalam garis lurus dari titik A(−1, 0, −2) ke titik B(4, −3, −4). Koordinat dalam meter. Cari kerja W yang dilakukan oleh daya itu.

F = (20, −15, −15) NA(−1, 0, −2) mB(4, −3, −4) m

W = J

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Bagi a = (1, 2, −3) dan b = (5, 3, 1), cari komponen-y (a × b)_y hasil darab silang a × b.

a = (1, 2, −3)b = (5, 3, 1)

(a × b)_y =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.35, 0.05, 0.3

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 5. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.2, 0.3Y = 5X + 5

σ_Y =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 55, 51, 22, 36, 56.

n = 5

s =

18.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 182?

μ = 170σ = 20x = 182

P =

19.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.0166. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.0166

z =

20.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 5% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g5%

x = g

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 2.718

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

Buat songsangan logaritma

L = e¹ = 2.718

Jawapan

L = 2.718

2.Had

Jawapan: L = 2

Petua L'Hôpital

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[2·cos 2x]

Gantikan x = 0

L = 4/2 = 2

Jawapan

L = 2

3.Terbitan

Jawapan: f′(1.5) = 23.53

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(2x + 1·x²)

Gantikan

f′(1.5) = 4.482·(3 + 2.25) = 23.53

Jawapan

f′(1.5) = 23.53

4.Terbitan

Jawapan: b = −14

Titik dan kecerunan

f(3) = 10

f′(x) = 2x + 2 → f′(3) = 8

Garis tangen pada x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 8·3 = −14

Jawapan

b = −14

5.Kamiran

Jawapan: I = 0.4069

Pengamiran bahagian demi bahagian: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, daripada petua hasil darab. Pilih u sebagai faktor yang menjadi lebih mudah apabila dibezakan (kuasa x, atau ln x), dan dv sebagai faktor yang boleh anda kamirkan (eˣ, sin x, cos x, atau x apabila u = ln x). Bagi kamiran tentu, nilaikan u·v pada kedua-dua had: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Faktor x² memerlukan dua pusingan.

Pilih u dan dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Antiterbitan

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Had

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0.4069

Jawapan

I = 0.4069

6.Kamiran

Jawapan: A = 5.333

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Titik persilangan

0.5x² = 2x → x = 0, x = 4

Kamirkan atas tolak bawah

A = [x² − 0.1667x³]₀⁴ = 5.333

Jawapan

A = 5.333

7.Nombor kompleks

Jawapan: b = −2.536

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 6·cos(−155°) = −5.438

b = 6·sin(−155°) = −2.536

Bentuk Cartes

z = −5.438 − j2.536

b = −2.536

Jawapan

b = −2.536

8.Nombor kompleks

Jawapan: D (2∠20°)

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen punca-punca

|z| = 2

θ = 20°, 140°, −100°

Titik itu

D = 2∠20°

Jawapan

D (2∠20°)

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1.5) = 0.1555

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca berganda

(r + 3)² = 0 → r = −3

Pemalar

A = y(0) = 2

y′(0) = B − 3A → B = 2 + 6 = 8

Nilaikan

y(1.5) = (2 + 8·1.5)·e^−4.5 = 0.1555

Jawapan

y(1.5) = 0.1555

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(0.5) = 0.5083

Punca kompleks

r = −2 ± 2j

Pemalar

A = 1, B = 2·1/2 = 1

Nilaikan

y(0.5) = e⁻¹(1·cos 1 + 1·sin 1) = 0.5083

Jawapan

y(0.5) = 0.5083

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −115

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 25, M₁₂ = −25, M₁₃ = 20

Pengembangan kofaktor

det A = (−4)·25 − (−3)·(−25) + 3·20 = −115

Jawapan

det A = −115

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 5

Persamaan cirian

λ² − (4)λ + (−5) = 0

Selesaikan

λ = (4 ± √(36))/2 → λ = −1, 5

λ = 5

Jawapan

λ = 5

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: W = 175 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Sesaran

d = B − A = (4, −3, −4) − (−1, 0, −2) = (5, −3, −2) m

Kerja

W = F·d = 20·5 + (−15)·(−3) + (−15)·(−2) = 175 J

Jawapan

W = 175 J

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)_y = −16

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·1 − (−3)·3 = 11

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·5 − 1·1 = −16

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·3 − 2·5 = −7

Komponen yang diminta

(a × b)_y = −16

Jawapan

(a × b)_y = −16

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.428

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.05 + 3·0.3 = 1.35

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.05 + 9·0.3 = 3.25

Varians

Var(X) = 3.25 − 1.35² = 1.428

Jawapan

Var(X) = 1.428

16.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 6.021

Serakan X

μ = 1.5, Var(X) = 1.45, σ_X = 1.204

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1.204 = 6.021

Jawapan

σ_Y = 6.021

Min memang berubah: E(Y) = 5·1.5 + 5 = 12.5.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.68

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 220/5 = 44

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 11² + 7² + (−22)² + (−8)² + 12² = 862

Sisihan piawai

s = √(862/4) = 14.68

Jawapan

s = 14.68

18.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2743

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

Jawapan

P = 0.2743

19.Taburan normal

Jawapan: z = 2.13

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.0166 = 0.9834

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9834 di dalam jadual dan baca z.

z = 2.13

Jawapan

z = 2.13

20.Taburan normal

Jawapan: x = 241.8 g

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.05

z daripada jadual

z ≈ −1.64

Kembali kepada unit asal

x = 250 − 1.64·5 = 241.8 g

Jawapan

x = 241.8 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics