Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^3x. Berikan nilai perpuluhan.

f(x) = (1 − 2/x)^3xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·sin(2x), dengan x dalam radian. Cari f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 3x² − 9x − 5. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x³ − 3x² − 9x − 5

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁³ 4/x dx.

f(x) = 4/x[1, 3]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan antara parabola y = 1 − x² dan paksi-x.

y = 1 − x²

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 8∠160° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian nyata a.

r = 8θ = 160°

a =

8.Nombor kompleksSukar

Tepat satu daripada titik A–D ialah punca bagi z⁴ = 16∠60°. Klik titik itu.

w = 16∠60°n = 4

1A (3.6∠−30°)
2B (2∠−30°)
3C (2∠75°)
4D (2∠−75°)

9.Persamaan pembezaanSederhana

Selesaikan y″ + 5y′ + 4y = 0 dengan y(0) = 1 dan y′(0) = 1. Cari y(1).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 1

y(1) =

10.Persamaan pembezaanSukar

Satu sistem mematuhi y″ + 4y′ + 13y = 65 untuk t ≥ 0, bermula dari pegun: y(0) = 0, y′(0) = 0. Cari nilai puncak y_max sambutan langkahnya.

y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.Matriks & penentuSederhana

Cari penentu det A bagi matriks 3×3 A yang ditunjukkan.

A = [−3 −1 1; −3 −4 5; 0 −3 −4]

det A =

12.Matriks & penentuSukar

Cari nilai eigen yang lebih besar λ bagi matriks A yang ditunjukkan.

A = [2 1; 8 0]

λ =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari unjuran skalar comp_b a bagi a = (−7, −3, 0) pada b = (−2, 6, −6), iaitu komponen a dalam arah b.

a = (−7, −3, 0)b = (−2, 6, −6)

comp_b a =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Vektor unit n̂ berserenjang dengan kedua-dua a = (−3, 1, 2) dan b = (−1, 3, −1) dan mempunyai komponen-z positif. Cari komponen-ynya n̂_y.

a = (−3, 1, 2)b = (−1, 3, −1)n̂_z > 0

n̂_y =

15.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 2 orang boleh dipilih daripada kumpulan 15? Susunan tidak penting.

n = 15k = 2

N =

16.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 8 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?

n = 8p = 0.1k = 3

P =

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 30, 58, 32, 51, 54, 50.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 52.5.

μ = 60σ = 15x = 52.5

z =

19.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.9090. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.9090

z =

20.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 85% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = 0.002479

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Ambil logaritma

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 2/x)

Nilaikan

ln(1 + u)/u → 1 apabila u → 0, maka x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−2) = −6

Buat songsangan logaritma

L = e⁻⁶ = 0.002479

Jawapan

L = 0.002479

2.Had

Jawapan: L = 0.5

Penggunaan pertama

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Penggunaan kedua

4·cos 2x/8

Gantikan x = 0

L = 4/8 = 0.5

Jawapan

L = 0.5

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = −3.371

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab dan rantai

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Gantikan

f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371

Jawapan

f′(2) = −3.371

4.Terbitan

Jawapan: x = 3

Terbitan

f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3·(x² − 2x − 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = −1 atau x = 3

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 6: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12

x = 3

Jawapan

x = 3

5.Kamiran

Jawapan: I = 4.394

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 4·ln x

Nilaikan pada had

I = 4·(ln 3 − ln 1) = 4·ln 3 = 4.394

Jawapan

I = 4.394

6.Kamiran

Jawapan: A = 1.333

Sifar

1 − x² = 0 → x = ±1

Kamirkan

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

Jawapan

A = 1.333

7.Nombor kompleks

Jawapan: a = −7.518

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 8·cos(160°) = −7.518

b = 8·sin(160°) = 2.736

Bentuk Cartes

z = −7.518 + j2.736

a = −7.518

Jawapan

a = −7.518

8.Nombor kompleks

Jawapan: D (2∠−75°)

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Modulus dan argumen punca-punca

|z| = 2

θ = 15°, 105°, −165°, −75°

Titik itu

D = 2∠−75°

Jawapan

D (2∠−75°)

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(1) = 0.6009

Persamaan linear tertib kedua: bagi y″ + b·y′ + c·y = 0 cuba y = e^rt: ini memberikan persamaan ciri r² + b·r + c = 0. Dua punca nyata r₁ ≠ r₂ memberikan y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (redaman lampau); punca berganda r memberikan y = (A + Bt)·e^rt (redaman genting); punca kompleks −α ± jω memberikan y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (redaman kurang, berayun). Nilai awal y(0) dan y′(0) menetapkan A dan B. Ditulis sebagai y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n ialah frekuensi tabii dan ζ nisbah redaman: ζ < 1 berayun. Dengan input malar, y″ + by′ + cy = c·K, penyelesaiannya ialah nilai mantap K tambah sambutan bebas.

Punca ciri

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

Pemalar daripada nilai awal

A + B = 1, −1A − 4B = 1

A = 1.667, B = −0.6667

Nilaikan

y(1) = 1.667·e⁻¹ + (−0.6667)·e⁻⁴ = 0.6009

Jawapan

y(1) = 0.6009

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y_max = 5.616

Nilai mantap dan punca

y_ss = 5, r = −2 ± 3j

Pemalar daripada nilai awal

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −3.333

Puncak

t = π/3 = 1.047

y_max = 5·(1 + e^−2·π/3) = 5.616

Jawapan

y_max = 5.616

11.Matriks & penentu

Jawapan: det A = −72

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Minor 2×2 baris pertama

M₁₁ = 31, M₁₂ = 12, M₁₃ = 9

Pengembangan kofaktor

det A = (−3)·31 − (−1)·12 + 1·9 = −72

Jawapan

det A = −72

12.Matriks & penentu

Jawapan: λ = 4

Persamaan cirian

λ² − (2)λ + (−8) = 0

Selesaikan

λ = (2 ± √(36))/2 → λ = −2, 4

λ = 4

Jawapan

λ = 4

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: comp_b a = −0.4588

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Hasil darab titik

a·b = (−7)·(−2) + (−3)·6 + 0·(−6) = −4

Panjang b

|b| = √((−2)² + 6² + (−6)²) = 8.718

Unjuran skalar

comp_b a = a·b/|b| = −4/8.718 = −0.4588

Jawapan

comp_b a = −0.4588

Negatif: a mempunyai komponen yang menghala melawan b.

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: n̂_y = 0.4256

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Hasil darab silang

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−1) − 2·3 = −7

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·(−1) − (−3)·(−1) = −5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·3 − 1·(−1) = −8

Normalkan

Komponen-z bagi a × b negatif, maka gunakan −(a × b).

|a × b| = √((−7)² + (−5)² + (−8)²) = 11.75

n̂ = −(−7, −5, −8)/11.75 = (0.5959, 0.4256, 0.681)

n̂_y = 0.4256

Jawapan

n̂_y = 0.4256

15.Kebarangkalian

Jawapan: N = 105

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Jawapan

N = 105

16.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.03307

Formula binomial

P(X = 3) = 56·0.1³·0.9⁵ = 56·0.001·0.5905 = 0.03307

Jawapan

P = 0.03307

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.84

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 275/6 = 45.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−15.83)² + 12.17² + (−13.83)² + 5.167² + 8.167² + 4.167² = 700.8

Sisihan piawai

s = √(700.8/5) = 11.84

Jawapan

s = 11.84

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (52.5 − 60)/15 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

19.Taburan normal

Jawapan: z = 1.69

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.9090)/2 = 0.9545

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9545 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.69

Jawapan

z = 1.69

20.Taburan normal

Jawapan: x = 542 h

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.85

z daripada jadual

z ≈ 1.04

Kembali kepada unit asal

x = 500 + 1.04·40 = 542 h

Jawapan

x = 542 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics