Matematik Kejuruteraan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 20 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Had

Penggantian terus: cuba x = a dahulu; 0/0 bermaksud permudahkan
Faktorkan dan batalkan: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugat: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Had pada infiniti: bahagi dengan kuasa x tertinggi; darjah yang sama memberikan nisbah pekali pendahulu
Had khas: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Petua L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Terbitan

Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′
Petua hasil bahagi: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Petua rantai: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Terbitan lazim: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Kaedah

Kenal pasti strukturnya: hasil tambah, hasil darab, hasil bahagi atau gubahan.
Gunakan petua kuasa pada setiap kuasa x.
Gunakan petua hasil darab, hasil bahagi atau rantai di mana perlu.
Permudahkan, dan nilaikan pada titik itu jika diminta.

Kamiran

Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Kamiran tentu: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Kamiran lazim: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Luas antara lengkung: ∫_a^b (f − g) dx

Kaedah

Tulis semula kamiran sebagai hasil tambah sebutan ringkas jika boleh.
Gunakan petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), dan kamiran piawai untuk e^x, 1/x, sin dan cos.
Gunakan penggantian apabila anda melihat satu fungsi dan terbitannya bersama.
Untuk kamiran tentu, nilaikan F(b) − F(a).

Nombor kompleks

Bentuk Cartes: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus dan argumen: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Bentuk kutub dan eksponen: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Pembahagian: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Hasil darab dan hasil bahagi: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
Punca ke-n: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kuadratik dengan p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Kaedah

Tentukan bentuk yang sesuai dengan operasi: bentuk Cartes a + jb untuk menambah dan menolak, bentuk kutub r∠θ untuk mendarab, membahagi, kuasa dan punca.
Kembangkan dengan j² = −1; bahagi dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut.
Tukar dengan r = √(a² + b²) dan θ daripada lakaran titik itu (semak kuadran), dan kembali dengan a = r cos θ, b = r sin θ.
Untuk kuasa gunakan De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; untuk zⁿ = R∠φ senaraikan semua n punca R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Persamaan pembezaan

Pertumbuhan/pereputan eksponen: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Separuh hayat: k = ln 2 / t_½
Hukum penyejukan Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Faktor pengamiran: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tangki pencampuran: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Matriks & penentu

penentu 2×2: det = ad − bc
Songsangan 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produk: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Nilai eigen: det(A − λI) = 0
Petua Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Vektor: hasil darab titik & silang

Magnitud: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vektor unit: û = a/|a|
Komponen daripada sudut: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Unjuran skalar a pada b: a·b/|b|
Kerja: W = F·d
Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Luas: segi empat selari |a × b|, segi tiga ½|a × b|
Momen pada O: M_O = r × F, r = A − O
Isi padu parallelepiped: V = |a·(b × c)|

Kaedah

Tulis setiap vektor dalam komponen; bagi daya yang diberikan oleh magnitud dan sudut, gunakan F·cos θ dan F·sin θ.
Untuk panjang dan arah gunakan magnitud √(x² + y² + z²) dan vektor unit a/|a|.
Gunakan hasil darab titik untuk sudut, unjuran, keserenjangan dan kerja: a·b = |a||b|cos θ.
Gunakan hasil darab silang untuk vektor berserenjang, luas dan momen: tulis ketiga-tiga komponen dengan teliti, dan kekalkan susunan a × b.

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

2Soalan latihan

1.HadSederhana

Cari had L = lim_x→∞ (√(x² − 7x) − x).

f(x) = √(x² − 7x) − xx → ∞

L =

2.HadSukar

Cari had L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²), dengan x dalam radian.

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.TerbitanSederhana

Biar f(x) = x·e^0.5x. Cari f′(2).

f(x) = x·e^0.5xx = 2

f′(2) =

4.TerbitanSukar

Biar f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2. Cari koordinat-x x bagi minimum setempat.

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2

x =

5.KamiranSederhana

Nilaikan I = ∫₁² 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 2]

I =

6.KamiranSukar

Cari luas A kawasan yang dikelilingi oleh y = x² dan y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

7.Nombor kompleksSederhana

Tulis z = 12∠35° dalam bentuk Cartes a + jb dan beri bahagian khayalan b.

r = 12θ = 35°

b =

8.Nombor kompleksSukar

Cari bahagian khayalan (−1 − j3)⁵.

z = −1 − j3n = 5

Im(z⁵) =

9.Persamaan pembezaanSederhana

Sebuah bahagian keluli tempaan pada 340 °C dibiarkan sejuk di dalam bengkel pada 29 °C. Selepas 12 min suhunya ialah 221 °C. Ia mengikut hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Cari pemalar k dalam min⁻¹.

T₀ = 340 °CT_a = 29 °CT(12) = 221 °C

k = min⁻¹

10.Persamaan pembezaanSukar

Selesaikan y′ + 3y = 6e^−t dengan y(0) = 2. Cari y(2).

y′ + 3y = 6e^−ty(0) = 2

y(2) =

11.Matriks & penentuSederhana

Biar C = AB bagi matriks yang ditunjukkan. Cari unsur c₁₂ (baris 1, lajur 2).

A = [−6 0; −5 1]B = [2 4; 0 −4]

c₁₂ =

12.Matriks & penentuSukar

Selesaikan sistem x + 6y = −8 dan 6x + 4y = 9. Cari x.

x + 6y = −86x + 4y = 9

x =

13.Vektor: hasil darab titik & silangSederhana

Cari hasil darab titik a·b bagi a = (−6, −6, 4) dan b = (4, 4, 7).

a = (−6, −6, 4)b = (4, 4, 7)

a·b =

14.Vektor: hasil darab titik & silangSukar

Bagi a = (6, 4, 5) dan b = (4, 0, −4), cari komponen-y (a × b)_y hasil darab silang a × b.

a = (6, 4, 5)b = (4, 0, −4)

(a × b)_y =

15.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.25, 0.2, 0.35, 0.2

Var(X) =

16.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €4 dengan kebarangkalian 0.25 dan €20 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €1€4: p = 0.25€20: p = 0.05

E(G) = €

17.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 19, 10, 17, 56, 10, 30.

n = 6

s =

18.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 30.

μ = 50σ = 10x = 30

z =

19.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 65.5 dan 77 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 65.5x₂ = 77

P =

20.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 80% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

3Larutan

1.Had

Jawapan: L = −3.5

Had: cuba penggantian terus dahulu. Jika ia memberikan 0/0, permudahkan dahulu: faktorkan dan batalkan faktor sepunya, atau darabkan dengan konjugat. Apabila x → ∞, bahagi pengangka dan penyebut dengan kuasa x tertinggi. Petua L'Hôpital: jika f/g memberikan 0/0 atau ∞/∞, maka lim f/g = lim f′/g′, dengan membezakan pengangka dan penyebut secara berasingan (bukan dengan petua hasil bahagi).

Darabkan dengan konjugat

f(x) = −7x/(√(x² − 7x) + x)

Bahagikan dengan x

f(x) = −7/(√(1 + (−7)/x) + 1)

Biarkan x → ∞

L = −7/(1 + 1) = −3.5

Jawapan

L = −3.5

2.Had

Jawapan: L = 3.125

Penggunaan pertama

5·sin 5x/(8x) → 0/0

Penggunaan kedua

25·cos 5x/8

Gantikan x = 0

L = 25/8 = 3.125

Jawapan

L = 3.125

3.Terbitan

Jawapan: f′(2) = 5.437

Pembezaan: terbitan f′(x) ialah kecerunan graf pada x. Petua kuasa: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Petua hasil darab: (uv)′ = u′v + uv′. Petua rantai: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Di mana f′(x) = 0, graf mempunyai tangen mengufuk: maksimum, minimum atau titik pelana.

Petua hasil darab

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(1 + 0.5·x)

Gantikan

f′(2) = 2.718·(1 + 1) = 5.437

Jawapan

f′(2) = 5.437

4.Terbitan

Jawapan: x = 3

Terbitan

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

Selesaikan f′(x) = 0

x = 1 atau x = 3

Yang mana satu

f″(x) = 6x − 12: negatif pada maksimum, positif pada minimum.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

Jawapan

x = 3

5.Kamiran

Jawapan: I = 2.079

Kamiran tentu: ∫ₐᵇ f(x) dx ialah luas bertanda antara graf dan paksi-x dari a hingga b. Cari antiterbitan F (dengan F′ = f) dan nilaikan F(b) − F(a). Petua kuasa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Luas antara dua lengkung ialah ∫(atas − bawah) dx.

Antiterbitan

F(x) = 3·ln x

Nilaikan pada had

I = 3·(ln 2 − ln 1) = 3·ln 2 = 2.079

Jawapan

I = 2.079

6.Kamiran

Jawapan: A = 10.67

Titik persilangan

x² = 4x → x = 0, x = 4

Kamirkan atas tolak bawah

A = [2x² − 0.3333x³]₀⁴ = 10.67

Jawapan

A = 10.67

7.Nombor kompleks

Jawapan: b = 6.883

Bentuk kutub: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, dengan r = |z| dan θ = arg z. Kembali kepada bentuk Cartes: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumen memerlukan kuadran: θ = atan(b/a) hanya apabila a > 0; untuk a < 0 tambah atau tolak 180°. Dalam bentuk kutub pendaraban mudah: darabkan modulus dan tambah argumen; untuk pembahagian bahagikan modulus dan tolak argumen.

Komponen

a = 12·cos(35°) = 9.83

b = 12·sin(35°) = 6.883

Bentuk Cartes

z = 9.83 + j6.883

b = 6.883

Jawapan

b = 6.883

8.Nombor kompleks

Jawapan: Im(z⁵) = 12

De Moivre dan punca: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Persamaan zⁿ = R∠φ mempunyai tepat n punca, semuanya dengan modulus R^1/n, pada argumen (φ + 360°·k)/n untuk k = 0, 1, …, n − 1: ia terletak berjarak sama pada bulatan, 360°/n antara satu sama lain. Persamaan kuadratik z² + pz + q = 0 dengan p² < 4q mempunyai punca kompleks z = −p/2 ± j√(q − p²/4); polinomial dengan pekali nyata sentiasa mempunyai punca kompleksnya dalam pasangan konjugat a ± jb.

Kuasa langkah demi langkah

z² = (−1 − j3)(−1 − j3) = −8 + j6

z³ = (−8 + j6)(−1 − j3) = 26 + j18

z⁴ = (26 + j18)(−1 − j3) = 28 − j96

z⁵ = (28 − j96)(−1 − j3) = −316 + j12

Semak dengan De Moivre

z = 3.162∠−108.4° → z⁵ = 316.2∠177.8°

Im(z⁵) = 12

Jawapan

Im(z⁵) = 12

9.Persamaan pembezaan

Jawapan: k = 0.04019 min⁻¹

Persamaan pembezaan peringkat pertama: dy/dt = k·y mempunyai penyelesaian y = y₀·e^kt (pertumbuhan bagi k > 0, pereputan bagi k < 0); separuh hayat T memberikan k = ln 2/T. Hukum penyejukan Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), memberikan T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Persamaan linear y′ + p(x)·y = q(x) diselesaikan dengan faktor pengamiran μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, maka μy = ∫μq dx + C.

Nisbah beza suhu

e^−12k = 192/311

Selesaikan untuk k

k = ln(311/192)/12 = 0.04019 min⁻¹

Jawapan

k = 0.04019 min⁻¹

10.Persamaan pembezaan

Jawapan: y(2) = 0.4035

Faktor pengamiran

μ = e^3t

(e^3ty)′ = 6e^2t

Penyelesaian am

y = 6/2·e^−t + C·e^−3t = 3·e^−t + C·e^−3t

Syarat awal

2 = 3 + C → C = −1

Nilaikan

y(2) = 3·0.1353 + (−1)·0.002479 = 0.4035

Jawapan

y(2) = 0.4035

11.Matriks & penentu

Jawapan: c₁₂ = −24

Matriks: penentu matriks 2×2 ialah ad − bc. Bagi 3×3, kembangkan sepanjang satu baris: setiap unsur didarab penentu matriks 2×2 yang tinggal selepas membuang baris dan lajurnya, dengan tanda berselang-seli + − +. Nilai eigen λ menyelesaikan det(A − λI) = 0; bagi 2×2 itu ialah λ² − (surih)·λ + det = 0.

Baris darab lajur

c₁₂ = (−6)·4 + 0·(−4) = −24

Jawapan

c₁₂ = −24

12.Matriks & penentu

Jawapan: x = 2.688

Penentu matriks pekali

det A = 1·4 − 6·6 = −32

Gantikan lajur x

det Aₓ = (−8)·4 − 6·9 = −86

x = −86/(−32) = 2.688

Jawapan

x = 2.688

y = −1.781

13.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: a·b = −20

Hasil darab titik: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, satu skalar. Ia memberikan sudut antara dua vektor, cos θ = a·b/(|a|·|b|), dan ia sifar apabila kedua-duanya berserenjang. Unjuran skalar a pada b ialah a·b/|b|, dan daya malar F yang bergerak melalui sesaran d melakukan kerja W = F·d.

Darabkan komponen yang sepadan dan tambah

a·b = (−6)·4 + (−6)·4 + 4·7 = (−24) + (−24) + 28 = −20

Jawapan

a·b = −20

Negatif: sudut antara vektor lebih daripada 90°.

14.Vektor: hasil darab titik & silang

Jawapan: (a × b)_y = 44

Hasil darab silang: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) berserenjang dengan kedua-dua vektor, dan |a × b| = |a|·|b|·sin θ ialah luas segi empat selari yang direntanginya (segi tiga mempunyai separuhnya). Susunan penting: b × a = −(a × b). Momen daya F yang dikenakan pada titik A terhadap titik O ialah M_O = r × F, dengan r = A − O.

Hasil darab silang, komponen demi komponen

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·(−4) − 5·0 = −16

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·4 − 6·(−4) = 44

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·0 − 4·4 = −16

Komponen yang diminta

(a × b)_y = 44

Jawapan

(a × b)_y = 44

Semak: a × b berserenjang dengan kedua-dua vektor, maka hasil darab titiknya dengan a dan dengan b ialah sifar.

15.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 115

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 10·0.25 + 20·0.2 + 30·0.35 + 40·0.2 = 25

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 100·0.25 + 400·0.2 + 900·0.35 + 1600·0.2 = 740

Varians

Var(X) = 740 − 25² = 115

Jawapan

Var(X) = 115

16.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 1 €

Hasil bersih

G: 3 (p = 0.25), 19 (p = 0.05), −1 (p = 0.7)

Nilai jangkaan

E(G) = 3·0.25 + 19·0.05 − 1·0.7 = 1 €

Jawapan

E(G) = 1 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

17.Statistik perihalan

Jawapan: s = 17.47

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 142/6 = 23.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−4.667)² + (−13.67)² + (−6.667)² + 32.33² + (−13.67)² + 6.333² = 1525

Sisihan piawai

s = √(1525/5) = 17.47

Jawapan

s = 17.47

18.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (30 − 50)/10 = −2

Jawapan

z = −2

19.Taburan normal

Jawapan: P = 0.365

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (65.5 − 65)/10 = 0.05

z₂ = (77 − 65)/10 = 1.2

Luas antara

P = Φ(1.2) − Φ(0.05) = 0.8849 − 0.5199 = 0.365

Jawapan

P = 0.365

20.Taburan normal

Jawapan: x = 466 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.2

z daripada jadual

z ≈ −0.84

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 0.84·40 = 466 h

Jawapan

x = 466 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics