Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 800 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 250 kN. Cari pemendekan δ.

P = 250 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 40 kNsegmen 1: Ø40 mm, 1 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, keluli (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 100 kW pada 1500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 100 mmd_i = 70 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari daya ricih V_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 10 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 10 mx = 1 m

V_x = kN

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

50 kN @ 0 m20 kN @ 6 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan alur diletakkan dengan sisi terbukanya ke atas: plat tapak selebar 280 mm dengan dua kaki tegak, setinggi 90 mm secara keseluruhan. Tapak dan kaki semuanya setebal 18 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

b = 280 mmh = 90 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 50 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = −30 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 300 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 2 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 12 kNa = 2 mL = 6 mE = 200 GPa (keluli)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 8 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.2472 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·7461 = 8.09 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 250000·800/8.09 × 10⁸ = 0.2472 mm

Jawapan

δ = 0.2472 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 198.9 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 31.83 MPa

σ₂ = 198.9 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 198.9 MPa

Jawapan

σ_max = 198.9 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.9338 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2000/(80000·613592) = 0.0163 rad

φ = 0.0163·180/π = 0.9338°

Jawapan

φ = 0.9338°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 4.267 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(100⁴ − 70⁴)/32 = 7.46 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·50/7.46 × 10⁶ = 4.267 MPa

Jawapan

τ_max = 4.267 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: V_x = 48 kN

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, bertindak pada x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·10·5

R_B = 600/10 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 60 = 60 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

V = R_A − (semua beban ke bawah di kiri keratan)

V_x = 60 − 12·1 = 48 kN

Jawapan

V_x = 48 kN

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: B (x = 1 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 98.75 kN, R₂ = 26.25 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −1.25, M_D = −7.5, M_E = −13.75, M_F = −20, M_G = 0

Jawapan

Tanda B: M_B = −50 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 4.722 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada segi empat tepat

Ambil tapak berlebar penuh dan dua kaki di atasnya (tinggi h − t), supaya tiada yang dikira dua kali.

bes: A₁ = 280·18 = 5040 mm², y₁ = 9 mm

dua kaki: A₂ = 2·18·72 = 2592 mm², y₂ = 18 + 72/2 = 54 mm

Sentroid

ȳ = (5040·9 + 2592·54)/7632 = 24.28 mm

Teorem paksi selari

bes: 280·18³/12 + 5040·(9 − 24.28)² = 1.313 × 10⁶ mm⁴

dua kaki: 2·18·72³/12 + 2592·(54 − 24.28)² = 3.409 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.313 × 10⁶ + 3.409 × 10⁶

I_x = 4.722 × 10⁶ mm⁴ = 4.722 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 4.722 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 180 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

web: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·215 + 4000·100)/11800 = 176 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 260·30³/12 + 7800·(215 − 176)² = 1.244 × 10⁷ mm⁴

web: 20·200³/12 + 4000·(100 − 176)² = 3.645 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.244 × 10⁷ + 3.645 × 10⁷ = 4.889 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 176 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·176/4.889 × 10⁷ = 180 MPa

Jawapan

σ_bawah = 180 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −84.35 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −50/50.99 = −0.9806, sin 2θ_s = −10/50.99 = −0.1961

2θ_s = atan2(−10, −50) = −168.7°

Sudut pada unsur

θ_s = −84.35°

semakan: θ_s − θ_p = −84.35 − (−39.35) = −45°

Jawapan

θ_s = −84.35°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.379

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 60 MPa, R = 64.03 MPa

σ₁ = 124 MPa, σ₂ = −4.031 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(124² − 124·(−4.031) + (−4.031)²) = 126.1 MPa

n = 300/126.1 = 2.379

Jawapan

n = 2.379

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 1.778 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, a = 2000 mm, b = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·2000²·4000²/(3·2.4 × 10¹³·6000) = 1.778 mm

Jawapan

δ_P = 1.778 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 11.51 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4.167) = 1.151 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11.51 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 11.51 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 6.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·3000 = 6000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/6000² = 6890 N = 6.89 kN

Jawapan

P_cr = 6.89 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 4.318 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

Jawapan

σ_cr = 4.318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials