Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.4 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 30 mm, panjang 300 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 50 mm, panjang 200 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 60 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 0.5 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 1.5 m. Tork 250 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 250 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 0.5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 30 kW pada 1450 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Rasuk disokong mudah itu membawa sepasang daya ikut arah jam M₀ = 50 kN·m pada x = 6 m dari A, dan tiada beban lain. Cari momen lentur M_x sejurus di sebelah kiri pasangan daya itu. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 10 mM₀ = 50 kN·m ikut arah jam, pada 6 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mP = 55 kN pada 1 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari tegasan lenturan σ_bawah pada tepi bawah.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_bawah = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = −70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 250 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 96.17 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2.037 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.4/4.159 × 10⁻⁶ = 96171 N = 96.17 kN

Jawapan

P = 96.17 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 20.65 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 60000·981748/1.453 × 10⁶ = 40541 N

Tegasan

σ₂ = 40541/1963 = 20.65 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 20.65 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 3.406 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·500/(80000·3.106 × 10⁶) = 0.000503 rad

φ_BC = 250000·1500/(80000·79522) = 0.05895 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.000503 + 0.05895 = 0.05945 rad = 3.406°

Jawapan

φ_C = 3.406°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 23.26 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 30000/151.8 = 197.6 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·80)) = 23.26 mm

Jawapan

d = 23.26 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = −30 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Pasangan daya yang dikenakan menyebabkan gambar rajah momen lentur melompat sebanyak magnitud pasangan daya itu.

Tindak balas penyokong

Momen pada A, lawan arah jam positif: R_B·L − M₀ = 0. Keseimbangan menegak: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 50/10 = 5 kN (ke atas)

R_A = −R_B = −5 kN (ke bawah)

Keratan sejurus di sebelah kiri pasangan daya

Bahagian kiri hanya mengandungi R_A.

M_x = R_A·a = −5·6 = −30 kN·m

Jawapan

M_x = −30 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 59.25 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·1 + 12·4·2

R_B = 151/4 = 37.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 103 − 37.75 = 65.25 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 65.25·1 − 12·1·0.5 = 59.25 kN·m

Jawapan

M_x = 59.25 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 76.38 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287.5 mm

web: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·287.5 + 5040·140)/8340 = 198.4 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·15³/12 + 3300·(287.5 − 198.4)² = 2.628 × 10⁷ mm⁴

web: 18·280³/12 + 5040·(140 − 198.4)² = 5.01 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.628 × 10⁷ + 5.01 × 10⁷ = 7.638 × 10⁷ mm⁴ = 76.38 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 76.38 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_bawah = 43.93 MPa

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

web: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·270 + 5200·130)/7200 = 168.9 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 100·20³/12 + 2000·(270 − 168.9)² = 2.051 × 10⁷ mm⁴

web: 20·260³/12 + 5200·(130 − 168.9)² = 3.716 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.051 × 10⁷ + 3.716 × 10⁷ = 5.767 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 168.9 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·168.9/5.767 × 10⁷ = 43.93 MPa

Jawapan

σ_bawah = 43.93 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 79.72 °

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, −70 − 90) = 159.4°

Sudut pada unsur

θ_p = 79.72°

Jawapan

θ_p = 79.72°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.395

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 5 MPa, R = 52.2 MPa

σ₁ = 57.2 MPa, σ₂ = −47.2 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 104.4 MPa

n = 250/104.4 = 2.395

Jawapan

n = 2.395

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 4.037 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 4.037 mm

Jawapan

δ_max = 4.037 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13.89) = 1.172 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 55.27 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·1500 = 1500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1500² = 55270 N = 55.27 kN

Jawapan

P_cr = 55.27 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 49.35 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

Jawapan

σ_cr = 49.35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials