Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar kuprum, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada aluminium (diameter 30 mm, panjang 200 mm, E = 70 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 30 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: aluminium, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 500 N·md = 25 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 20 kW pada 300 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 20 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 24 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 4.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya dan beban titik P. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 6 mP = 40 kN pada 2.5 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 6 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 180 mm dan setebal 12 mm, kedalaman keseluruhan 280 mm dan web setebal 12 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 180 mmH = 280 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 15 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmM = 15 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 110 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° ikut arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 1200 mm dan ketebalan dinding 5 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 0.5 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 60° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 0.5 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 1 m dari A. Cari pesongan δ_B pada hujung bebas B.

P = 21 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (keluli)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 4 mw = 12 kN/m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 75 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 75 kNn = 2L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 2002 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 115·1000/490.9 = 234.3 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for kuprum = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 234.3/117000 = 0.002002 = 2002 µε

Jawapan

ε = 2002 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 11.99 MPa

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·706.9/200 = 247400 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 30000·247400/875719 = 8475 N

Tegasan

σ₂ = 8475/706.9 = 11.99 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 11.99 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 14.01 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(80000·38350) = 0.2445 rad

φ = 0.2445·180/π = 14.01°

Jawapan

φ = 14.01°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 58.2 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·20/218755 = 58.2 MPa

Jawapan

τ_max = 58.2 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 9 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2.5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 4.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 20·4.5 − 8·4.5·2.25 = 9 kN·m

Jawapan

M_x = 9 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 110.8 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, bertindak pada x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2.5 + 12·6·3

R_B = 316/6 = 52.67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 112 − 52.67 = 59.33 kN

Di manakah V = 0?

V(2.5⁻) = R_A − w·2.5 = 29.33 kN

V(2.5⁺) = 29.33 − 40 = −10.67 kN

Daya ricih bertukar tanda pada beban, maka maksimum berada di bawah beban.

Momen maksimum

M_max = R_A·2.5 − w·2.5²/2 = 59.33·2.5 − 12·2.5²/2 = 110.8 kN·m

Jawapan

M_max = 110.8 kN·m

Ia berlaku pada x = 2.5 m dari A.

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 94.4 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 280 − 2·12 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·280³ − 168·256³)/12

I_x = 9.44 × 10⁷ mm⁴ = 94.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 94.4 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 86.76 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

web: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·165 + 2240·80)/3440 = 109.7 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 120·10³/12 + 1200·(165 − 109.7)² = 3.686 × 10⁶ mm⁴

web: 14·160³/12 + 2240·(80 − 109.7)² = 6.748 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3.686 × 10⁶ + 6.748 × 10⁶ = 1.043 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 170 − 109.7 = 60.35 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·60.35/1.043 × 10⁷ = 86.76 MPa

Jawapan

σ_atas = 86.76 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 16.52 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 65 − 45·0.5 − (−30)·(−0.866) = 16.52 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 113.5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 130 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 16.52 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 37.5 MPa

Tegasan dinding

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0.5·600/5 = 60 MPa

σ_a = pr/(2t) = 30 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 30·sin²60° + 60·cos²60° = 37.5 MPa

Jawapan

σ_n = 37.5 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_B = 10.29 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 21000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δ_P = Pa³/(3EI) = 4.118 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.006176 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10.29 mm

Jawapan

δ_B = 10.29 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 18 kN

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·4/8 = 18 kN

Jawapan

R_B = 18 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 14.92 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2500² = 14923 N = 14.92 kN

Jawapan

P_cr = 14.92 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 46.66 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·75000 = 150000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·150000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 46.66 mm

Jawapan

d = 46.66 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 150, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials