Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 100 mm, diameter dalam 60 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø25 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Segmen keluli (diameter 40 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) dan segmen diperbuat daripada loyang (diameter 50 mm, panjang 400 mm, E = 100 GPa) dicantumkan hujung ke hujung dan dipegang tetap antara dua dinding tegar. Beban paksi 50 kN bertindak pada sambungan, ke arah segmen 2. Cari magnitud tegasan σ₂ dalam segmen 2.

segmen 1: keluli, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: loyang, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 30 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 75 kW pada 300 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 50 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

10 kN @ 4 m40 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 12 m35 kN @ 6 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan segi empat tepat berongga (kotak) mempunyai lebar luar B = 280 mm, tinggi luar H = 300 mm dan ketebalan dinding seragam t = 12 mm. Cari jejari legaran r pada paksi sentroid mengufuk.

B = 280 mmH = 300 mmt = 12 mm

r = mm

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 100 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 40 mm dan setinggi 40 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 130 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 200 mmpotongan: 40 × 40 mmpusat lubang: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −50 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 45° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 10 kNw = 10 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 60 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 60 kNn = 3L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.04915 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5027 = 6.511 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·400/6.511 × 10⁸ = 0.04915 mm

Jawapan

δ = 0.04915 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ₂ = 11.17 MPa

Kekakuan

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Bahagian segmen 2

F₂ = 50000·490874/1.119 × 10⁶ = 21930 N

Tegasan

σ₂ = 21930/1963 = 11.17 MPa (mampatan)

Jawapan

σ₂ = 11.17 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 3.377 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(80000·79522) = 0.05895 rad

φ = 0.05895·180/π = 3.377°

Jawapan

φ = 3.377°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 62.42 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 75000/31.42 = 2387 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2.387 × 10⁶/(π·50)) = 62.42 mm

Jawapan

d = 62.42 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: D (x = 6 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 26.67 kN, R₂ = 23.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 53.33, M_C = 106.7, M_D = 140 kN·m, M_E = 93.33, M_F = 46.67, M_G = 0

Jawapan

Tanda D: M_D = 140 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 25.75 kN, R₂ = 103.3 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 35.5, M_C = 39, M_D = 10.5, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −120 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: r = 116.6 mm

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar. Jejari legaran r = √(I/A) ialah jarak di mana keseluruhan luas akan memberikan I yang sama; ia digunakan dalam lengkokan tiang.

Luas bersih dan momen luas kedua

b = 256 mm, h = 276 mm

A = BH − bh = 280·300 − 256·276 = 13344 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.815 × 10⁸ mm⁴

Jejari legaran

r = √(I/A) = √(1.815 × 10⁸/13344) = 116.6 mm

Jawapan

r = 116.6 mm

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 64.89 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (20000·100 − 1600·130)/(20000 − 1600) = 97.39 mm

Plat penuh pada ȳ

100·200³/12 + 20000·2.609² = 66.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

40·40³/12 + 1600·32.61² = 1.915 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 64.89 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 64.89 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 49.73 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 40 − 50) = 99.46°

Sudut pada unsur

θ_p = 49.73°

Jawapan

θ_p = 49.73°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −45 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = 5 + −25·0 + −50·1 = −45 MPa

Jawapan

σ_θ = −45 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.119 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 2.119 mm

Jawapan

δ_max = 2.119 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 13.3 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 10000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm, EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·2500³/(48·6.27 × 10¹¹) = 5.192 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 8.112 mm

Tambahkannya

δ_max = 5.192 + 8.112 = 13.3 mm

Jawapan

δ_max = 13.3 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 58.49 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1500² = 58487 N = 58.49 kN

Jawapan

P_cr = 58.49 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 58.79 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 58.79 mm

Jawapan

d = 58.79 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 102.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials