Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal
σ = F/A
Terikan
ε = ΔL/L
Hukum Hooke
σ = E·ε
Pemanjangan
ΔL = FL/(EA)
Terikan terma
εT = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih
τ = T·r/J
Aci pejal
J = πd⁴/32
Aci berongga
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan
φ = TL/(GJ)
Kuasa
P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

  1. Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
  2. Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
  3. Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
  4. Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen
V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan
σ = M·y/I
Segi empat tepat
I = bh³/12
Modulus keratan
W = I/ymax
Disokong mudah, beban seragam
Mmax = wL²/8

Kaedah

  1. Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
  2. Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
  3. Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
  4. Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Segi empat tepat
I = bh³/12
Teorem paksi selari
I = Ic + A·d²
Keratan gubahan
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat
C = (σx + σy)/2
Jejari
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tegasan utama
σ1,2 = C ± R
Arah utama
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Satah condong
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Kaedah

  1. Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
  4. Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang
δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah
δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung
δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam
δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi
δ = δ1 + δ2

Lengkokan tiang

Beban Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan
K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal
σcr = Pcr/A
Kelangsingan
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana
300 kNØ25110 GPaØ120/50500 mmδ = ?

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada gangsa (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 110 GPa). Kedua-duanya sepanjang 500 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNrod: Ø25 mm, E = 200 GPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 500 mm
δ = mm
2.Tegasan & terikan paksiSukar
Ø 25 mmLoyang2 mØ 16 mmKuprum1.5 mP = 30 kN

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σmax dalam bar itu.

P = 30 kNsegmen 1: Ø25 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Kilasan aciSederhana
T = 100 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.Kilasan aciSukar
d = 60 mmT0​ = 2000 N·mACBa = 1.5 mb = 3 m

Aci keluli pepejal berdiameter 60 mm terikat pada dinding tegar di kedua-dua hujung A dan B. Tork 2000 N·m dikenakan pada C, 1.5 m dari A dan 3 m dari B. Cari tork tindak balas TA pada dinding A.

d = 60 mmT0 = 2000 N·ma = 1.5 mb = 3 m
TA = N·m
5.Daya ricih & momen lenturSederhana
P1​ = 10 kNP2​ = 45 kNAB2 m0.5 m1.5 m

Rasuk disokong mudah itu membawa dua beban titik. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 4 mP1 = 10 kN pada 2 mP2 = 45 kN pada 2.5 m
Mmax = kN·m
6.Daya ricih & momen lenturSukar
w = 12 kN/mAB4 m4 m

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum Mmax dalam rasuk.

L = 8 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 4 m
Mmax = kN·m
7.Sentroid & momen luas keduaSederhana
2203022010xdimensi dalam mm

Cari momen luas kedua Ix keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 10 mmhw = 220 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas keduaSukar
2801018016xM = 40 kN·mdimensi dalam mm

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 40 kN·m. Cari tegasan lenturan σbawah pada tepi bawah.

bf = 280 mmtf = 10 mmtw = 16 mmhw = 180 mmM = 40 kN·m
σbawah = MPa
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana
σx​ = 30σy​ = 120τxy​ = −20MPa

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 30 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari sudut θp dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σx = 30 MPaσy = 120 MPaτxy = −20 MPa
θp = °
10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar
σx​τxy​permukaan atas aci

Aci pepejal berdiameter 40 mm membawa momen lentur 100 N·m bersama-sama dengan tork 1000 N·m. Pada permukaan atas, di mana tegasan lentur ialah tegangan dan paling besar, cari tegasan ricih maksimum dalam satah τmax.

d = 40 mmM = 100 N·mT = 1000 N·m
τmax = MPa
11.Pesongan rasukSederhana
P = 13 kNABδ2.5 m1.5 m

Julur sepanjang L terikat tetap pada A dan membawa beban titik P pada jarak a = 2.5 m dari A. Cari pesongan δB pada hujung bebas B.

P = 13 kNa = 2.5 mL = 4 mE = 200 GPa (keluli)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Pesongan rasukSukar
w = 10 kN/mδL = 4 m

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil Ireq yang memenuhi had ini.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiangSederhana
PL = 4 m25 × 60 mmkeratan rentas

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal Pcrnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
14.Lengkokan tiangSukar
P = 65 kNL = 2.5 md = ?keratan rentas

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Ia mesti menanggung 65 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 65 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)
d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1332 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, Pi = P·EiAi/ΣEA, dan σi = Ei·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·9346 = 1.126 × 10⁹ N

Pemendekan

δ = 300000·500/1.126 × 10⁹ = 0.1332 mm

Jawapan

δ = 0.1332 mm
2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σmax = 149.2 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 61.12 MPa
σ2 = 149.2 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σmax = 149.2 MPa

Jawapan

σmax = 149.2 MPa
3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.7205 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(80000·79522) = 0.01258 rad
φ = 0.01258·180/π = 0.7205°

Jawapan

φ = 0.7205°
4.Kilasan aci

Jawapan: TA = 1333 N·m

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τmax = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(do⁴ − di⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω. Apabila kedua-dua hujung terikat, statik sahaja hanya memberikan TA + TB = T₀; persamaan kedua ialah keserasian (kilasan yang sama pada kedua-dua bahagian di keratan yang dibebani).

Keseimbangan dan keserasian

TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·3/4.5 = 1333 N·m
TB = 2000·1.5/4.5 = 666.7 N·m

Jawapan

TA = 1333 N·m
5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 49.69 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

ΣMA = 0: RB·4 = 10·2 + 45·2.5
RB = 132.5/4 = 33.13 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 33.13 = 21.88 kN

Momen di bawah setiap beban

Simpan bahagian di sebelah kiri setiap beban.

di bawah P1: M = RA·2 = 21.88·2 = 43.75 kN·m
di bawah P2: M = RB·1.5 = 33.13·1.5 = 49.69 kN·m

Nilai terbesar

Mmax = 49.69 kN·m (di bawah P2)

Jawapan

Mmax = 49.69 kN·m
6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: Mmax = 54 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, bertindak pada x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·8 = 12·4·2
RB = 96/8 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 12 = 36 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada RA, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 36/12 = 3 m

Momen maksimum

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 36·3 − 12·3²/2 = 54 kN·m

Jawapan

Mmax = 54 kN·m
7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: Ix = 35.15 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 220 + 30/2 = 235 mm
web: Aw = 10·220 = 2200 mm², yw = 220/2 = 110 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·235 + 2200·110)/8800 = 203.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 220·30³/12 + 6600·(235 − 203.8)² = 6.94 × 10⁶ mm⁴
web: 10·220³/12 + 2200·(110 − 203.8)² = 2.821 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.94 × 10⁶ + 2.821 × 10⁷ = 3.515 × 10⁷ mm⁴ = 35.15 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ix = 35.15 × 10⁶ mm⁴
8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σbawah = 265.5 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: Af = 280·10 = 2800 mm², yf = 180 + 10/2 = 185 mm
web: Aw = 16·180 = 2880 mm², yw = 180/2 = 90 mm

Sentroid

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2800·185 + 2880·90)/5680 = 136.8 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 280·10³/12 + 2800·(185 − 136.8)² = 6.52 × 10⁶ mm⁴
web: 16·180³/12 + 2880·(90 − 136.8)² = 1.409 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6.52 × 10⁶ + 1.409 × 10⁷ = 2.061 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi bawah berjarak ȳ dari paksi.

y = 136.8 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·136.8/2.061 × 10⁷ = 265.5 MPa

Jawapan

σbawah = 265.5 MPa
9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θp = −78.02 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

στxyCσ1​σ2​

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−20, 30 − 120) = −156°

Sudut pada unsur

θp = −78.02°

Jawapan

θp = −78.02°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τmax = 79.97 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Tegasan pada permukaan

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·40³) = 15.92 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79.58 MPa
στxyCτmax​

Bulatan Mohr

C = σ/2 = 7.958 MPa
R = √(7.958² + 79.58²) = 79.97 MPa

Jawapan

τmax = 79.97 MPa
11.Pesongan rasuk

Jawapan: δB = 17.87 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 13000 N, a = 2500 mm, L = 4000 mm
EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

Pesongan pada hujung bebas

Pesongan pada beban tambah cerun pada beban darab panjang yang tinggal.

δP = Pa³/(3EI) = 9.404 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.005642 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 17.87 mm

Jawapan

δB = 17.87 mm
12.Pesongan rasuk

Jawapan: Ireq = 42.86 × 10⁶ mm⁴

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Had pesongan

δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·4000⁴/(384·70000·11.11) = 4.286 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 42.86 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

Ireq = 42.86 × 10⁶ mm⁴
13.Lengkokan tiang

Jawapan: Pcr = 3.373 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·4000 = 4000 mm

Beban kritikal

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/4000² = 3373 N = 3.373 kN

Jawapan

Pcr = 3.373 kN
14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 77.43 mm

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada Pcr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Beban kritikal yang diperlukan

Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 77.43 mm

Jawapan

d = 77.43 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 129.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials