Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada aluminium (diameter luar 80 mm, diameter dalam 60 mm, E = 70 GPa). Kedua-duanya sepanjang 300 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 80 kN. Cari pemendekan δ.

P = 80 kNrod: Ø40 mm, E = 200 GPatiub: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 10 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, aluminium (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci berongga mesti membawa tork 750 N·m. Diameter dalamnya ialah 0.7 kali diameter luarnya, dan tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa. Cari diameter luar terkecil d_o.

T = 750 N·md_i/d_o = 0.7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 50 kW pada 1500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 4 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari momen lentur sagging maksimum M_max di antara penyokong.

L = 9 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 9 mpenyokong pada x = 0 dan x = 8 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 120 mm × 150 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 60 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 60 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mmpusat lubang: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan-T digunakan sebagai rasuk dengan bebibir di atas dan membawa momen lentur melendut ke bawah sebanyak 50 kN·m. Cari magnitud tegasan lenturan σ_atas pada tepi atas.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_atas = MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = 30 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 275 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria Tresca (tegasan ricih maksimum).

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (keluli)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w dan beban titik P pada pertengahan rentang. Dengan superposisi, cari pesongan pertengahan rentang δ_max.

P = 12 kNw = 20 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (keluli)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.05922 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·2199 = 4.053 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 80000·300/4.053 × 10⁸ = 0.05922 mm

Jawapan

δ = 0.05922 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 31.83 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 14.15 MPa

σ₂ = 31.83 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 31.83 MPa

Jawapan

σ_max = 31.83 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: d_o = 46.5 mm

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Diameter luar daripada tegasan yang dibenarkan

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0.7599)) = 46.5 mm

d_i = 0.7·46.5 = 32.55 mm

Jawapan

d_o = 46.5 mm

Aci pepejal memerlukan d = 42.43 mm; yang berongga sedikit lebih besar tetapi jauh lebih ringan.

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 5.119 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 50000/157.1 = 318.3 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·37.5/2.332 × 10⁶ = 5.119 MPa

Jawapan

τ_max = 5.119 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 12 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

Potong pada x = 4 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 15·4 − 6·4·2 = 12 kN·m

Jawapan

M_x = 12 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 23.26 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·9 = 27 kN, bertindak pada x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 3·9·4.5

R_B = 121.5/8 = 15.19 kN

ΣF_y = 0: R_A = 27 − 15.19 = 11.81 kN

Daya ricih sifar

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11.81/3 = 3.938 m

Momen sagging maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11.81²/(2·3) = 23.26 kN·m

Jawapan

M_max = 23.26 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 32.36 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (18000·75 − 2827·60)/(18000 − 2827) = 77.8 mm

Plat penuh pada ȳ

120·150³/12 + 18000·−2.795² = 33.89 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−17.8² = 1.532 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 32.36 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 32.36 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: σ_atas = 60.01 MPa

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

web: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·310 + 5400·150)/8600 = 209.5 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 160·20³/12 + 3200·(310 − 209.5)² = 3.241 × 10⁷ mm⁴

web: 18·300³/12 + 5400·(150 − 209.5)² = 5.964 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.241 × 10⁷ + 5.964 × 10⁷ = 9.204 × 10⁷ mm⁴

Tegasan lenturan

Tepi atas berjarak h − ȳ dari paksi.

y = 320 − 209.5 = 110.5 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·110.5/9.204 × 10⁷ = 60.01 MPa

Jawapan

σ_atas = 60.01 MPa

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −28.15 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = 30/54.08 = 0.5547, sin 2θ_s = −45/54.08 = −0.8321

2θ_s = atan2(−45, 30) = −56.31°

Sudut pada unsur

θ_s = −28.15°

semakan: θ_s − θ_p = −28.15 − 16.85 = −45°

Jawapan

θ_s = −28.15°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 2.049

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 85 MPa, R = 49.24 MPa

σ₁ = 134.2 MPa, σ₂ = 35.76 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 134.2 MPa

n = 275/134.2 = 2.049

Jawapan

n = 2.049

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.0254 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 20·8000³/(24·1.68 × 10¹³) = 0.0254 rad

Jawapan

θ_A = 0.0254 rad

Itu ialah 1.455°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 17.32 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 12000 N, w = 20 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

Setiap beban secara berasingan

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·5000³/(48·1.12 × 10¹³) = 2.79 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·5000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 14.53 mm

Tambahkannya

δ_max = 2.79 + 14.53 = 17.32 mm

Jawapan

δ_max = 17.32 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 62.01 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·1000 = 500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62.01 kN

Jawapan

P_cr = 62.01 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 11.19 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

KL/r = 4200/10 = 420

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/420² = 11.19 MPa

Jawapan

σ_cr = 11.19 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials