Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar aluminium di bawah beban paksi itu.

P = 45 kNd = 12 mmL = 0.5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 115 kNsegmen 1: Ø30 mm, 2 m, loyang (E = 100 GPa)segmen 2: Ø16 mm, 2 m, aluminium (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Dalam ujian kilasan, spesimen pepejal berdiameter 15 mm dipiuh oleh tork 50 N·m. Kedua-dua hujung panjang tolok 300 mm berputar 2.16° relatif antara satu sama lain (bahan masih kenyal). Cari modulus ricih G bahan itu.

T = 50 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 2.16°

G = GPa

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 30 kW pada 300 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 80 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 30 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mw = 8 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk itu bertumpu pada pin di A dan penggelek di B serta menjulur melepasi B sejauh 1.5 m hingga hujung bebas C. Beban teragih seragam w bertindak sepanjang keseluruhan panjang A–C. Cari jarak x_c dari A ke titik lenturan songsang di antara penyokong (di mana momen lentur bertukar tanda).

L = 6.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 6.5 mpenyokong pada x = 0 dan x = 5 m

x_c = m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 100 mm × 240 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 40 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 96 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmpusat lubang: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Keratan I kimpalan mempunyai bebibir atas 160 × 18 mm, web setinggi 380 mm dan setebal 8 mm, dan bebibir bawah 250 × 20 mm (lebar × ketebalan). Cari momen luas keduanya I_x pada paksi mengufuk x melalui sentroidnya.

bebibir atas: 160 × 18 mmweb: 8 × 380 mmbebibir bawah: 250 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 150 MPa, σᵧ = 80 MPa dan τₓᵧ = −30 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = −60 MPa, σᵧ = 30 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan normal σ_θ pada satah yang normalnya diputar 30° lawan arah jam dari paksi-x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada a = 1.5 m dari penyokong A. Cari pesongan δ_P di bawah beban.

P = 15 kNa = 1.5 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk disokong mudah membawa beban titik P pada b = 1 m dari penyokong B. Cari pesongan maksimum δ_max rasuk.

P = 24 kNb = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminium)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.842 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 45·1000/113.1 = 397.9 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 397.9/70000 = 0.005684 = 5684 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.005684·500 mm = 2.842 mm

Jawapan

δ = 2.842 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 19.6 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 162.7 MPa

σ₂ = 572 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 162.7·2000/100000 = 3.254 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 572·2000/70000 = 16.34 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 19.6 mm

Jawapan

δ = 19.6 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: G = 80.06 GPa

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub dan sudut

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2.16·π/180 = 0.0377 rad

Modulus ricih

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·300/(4970·0.0377) = 80056 MPa

G = 80.06 GPa

Jawapan

G = 80.06 GPa

Bandingkan: keluli ≈ 80 GPa, loyang ≈ 39 GPa, aluminium ≈ 26 GPa.

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 39.32 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39.32 mm

Jawapan

d = 39.32 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 21 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2.5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Potong pada x = 1.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 20·1.5 − 8·1.5·0.75 = 21 kN·m

Jawapan

M_x = 21 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: x_c = 4.55 m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk, termasuk beban pada juluran.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 6·6.5 = 39 kN, bertindak pada x̄ = 3.25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·6.5·3.25

R_B = 126.8/5 = 25.35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 25.35 = 13.65 kN

Momen sifar

Di antara penyokong M(x) = R_A·x − w·x²/2. Selain x = 0, ia sifar pada x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·13.65/6 = 4.55 m

Jawapan

x_c = 4.55 m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 114.3 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (24000·120 − 1257·96)/(24000 − 1257) = 121.3 mm

Plat penuh pada ȳ

100·240³/12 + 24000·−1.326² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−25.33² = 0.9317 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 114.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 114.3 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 334.2 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Pecahkan kepada tiga segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir atas: A = 2880 mm², y = 409 mm

web: A = 3040 mm², y = 210 mm

bebibir bawah: A = 5000 mm², y = 10 mm

Sentroid

ȳ = (2880·409 + 3040·210 + 5000·10)/10920 = 170.9 mm

Teorem paksi selari

bebibir atas: 160·18³/12 + 2880·238.1² = 1.633 × 10⁸ mm⁴

web: 8·380³/12 + 3040·39.09² = 4.123 × 10⁷ mm⁴

bebibir bawah: 250·20³/12 + 5000·160.9² = 1.296 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1.633 × 10⁸ + 4.123 × 10⁷ + 1.296 × 10⁸

I_x = 3.342 × 10⁸ mm⁴ = 334.2 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 334.2 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 46.1 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((150 − 80)/2)² + −30²) = 46.1 MPa

Jawapan

τ_max = 46.1 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_θ = −54.82 MPa

Persamaan transformasi

σ_θ = −15 + −45·0.5 + −20·0.866 = −54.82 MPa

Jawapan

σ_θ = −54.82 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_P = 7.073 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 15000 N, a = 1500 mm, b = 6500 mm, L = 8000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan di bawah beban

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 15000·1500²·6500²/(3·8.4 × 10¹²·8000) = 7.073 mm

Jawapan

δ_P = 7.073 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.662 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

P = 24000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

Kedudukan maksimum

Menetapkan cerun dalam segmen yang lebih panjang kepada sifar memberikan kedudukannya.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

Pesongan maksimum

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 2.662 mm

Jawapan

δ_max = 2.662 mm

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 151.4 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151.4 kN

Jawapan

P_cr = 151.4 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 77.11 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12.5 = 160

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77.11 MPa

Jawapan

σ_cr = 77.11 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials