Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari pemanjangan δ bagi bar loyang di bawah beban paksi itu.

P = 30 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 25 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 250 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada kuprum (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 120 GPa, tegasan dibenarkan 50 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci keluli pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 100 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci berongga menghantar 75 kW pada 500 rpm. Cari tegasan ricih maksimum τ_max dalam aci itu.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2.5 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 4 mw = 3 kN/m dari 0 hingga 4 mx = 2.5 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 5 mP = 25 kN pada 1 mw = 2 kN/m dari 0 hingga 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 120 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 120 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 300 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 120 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 30 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 84 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 240 mmpotongan: 30 × 30 mmpusat lubang: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = 20 MPa dan τₓᵧ = 50 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 500 mm dan ketebalan dinding 15 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 3 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 60° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 500 mmt = 15 mmp = 3 MPaα = 60°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Cari cerun θ_A rasuk pada penyokong A, dalam radian.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Pesongan rasukSukar

Julur bertopang terikat tetap pada A dan disokong mudah (ditopang) pada B. Ia membawa beban titik P di tengah rentang. EI adalah malar. Cari tindak balas R_B pada topang.

L = 4 mP = 25 kN pada 2 m

R_B = kN

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 35 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 35 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 1.432 mm

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 30·1000/314.2 = 95.49 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 95.49/100000 = 0.0009549 = 954.9 µε

Pemanjangan

δ = ε·L = 0.0009549·1500 mm = 1.432 mm

Jawapan

δ = 1.432 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 414 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·7461 = 9.935 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.00125, 0.0004167) = 0.0004167 (kuprum)

Beban terbesar

P_max = 0.0004167·9.935 × 10⁸ = 413970 N = 414 kN

Jawapan

P_max = 414 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 0.3502 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·613592) = 0.006112 rad

φ = 0.006112·180/π = 0.3502°

Jawapan

φ = 0.3502°

4.Kilasan aci

Jawapan: τ_max = 18.75 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m

Momen luas kutub kedua

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3.056 × 10⁶ mm⁴

Tegasan ricih maksimum

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.432 × 10⁶·40/3.056 × 10⁶ = 18.75 MPa

Jawapan

τ_max = 18.75 MPa

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 5.625 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, bertindak pada x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Potong pada x = 2.5 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 6·2.5 − 3·2.5·1.25 = 5.625 kN·m

Jawapan

M_x = 5.625 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 24 kN·m

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, bertindak pada x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·1 + 2·5·2.5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 10 = 25 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 25·1 − 2·1·0.5 = 24 kN·m

Jawapan

M_x = 24 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 267.8 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (36000·150 − 1963·120)/(36000 − 1963) = 151.7 mm

Plat penuh pada ȳ

120·300³/12 + 36000·−1.731² = 270.1 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−31.73² = 2.284 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 267.8 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 267.8 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (28800·120 − 900·84)/(28800 − 900) = 121.2 mm

Plat penuh pada ȳ

120·240³/12 + 28800·−1.161² = 138.3 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

30·30³/12 + 900·−37.16² = 1.31 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 137 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = 34.1 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·50, 60 − 20) = 68.2°

Sudut pada unsur

θ_p = 34.1°

Jawapan

θ_p = 34.1°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 31.25 MPa

Tegasan dinding

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 3·250/15 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 25·sin²60° + 50·cos²60° = 31.25 MPa

Jawapan

σ_n = 31.25 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: θ_A = 0.004141 rad

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Cerun θ = dv/dx ialah kamiran pertama M/(EI); dalam unit yang konsisten ia keluar dalam radian.

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

Cerun hujung

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·1.61 × 10¹²) = 0.004141 rad

Jawapan

θ_A = 0.004141 rad

Itu ialah 0.2372°.

12.Pesongan rasuk

Jawapan: R_B = 7.813 kN

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi). Bagi rasuk tak boleh tentu secara statik, alihkan satu penyokong lebihan dan tetapkan pesongan di situ sifar (keserasian).

Alihkan topang

Tanpa topang, rasuk ialah julur. Hujung bebasnya akan terpesong di bawah beban.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Keserasian pada topang

Daya topang R_B sahaja mengangkat hujung bebas sebanyak R_BL³/(3EI). Topang menahan B pada pesongan sifar, maka kedua-duanya mesti saling batal. EI saling batal.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN

Jawapan

R_B = 7.813 kN

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 109.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN

Jawapan

P_cr = 109.9 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 72.66 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 72.66 mm

Jawapan

d = 72.66 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 165.2, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials