Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar aluminium, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari jumlah pemanjangan δ.

P = 40 kNsegmen 1: Ø30 mm, 1.5 m, kuprum (E = 117 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 1.5 m, loyang (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Kilasan aciSederhana

Aci keluli berongga (diameter luar 30 mm, diameter dalam 15 mm, panjang 1 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 250 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 250 N·md_o = 30 mmd_i = 15 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal memindahkan 20 kW pada 500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 50 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 0.25° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 20 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

25 kN @ 10 m55 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 2 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mP = 50 kN pada 4 mw = 4 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 170 mm dan setebal 10 mm, kedalaman keseluruhan 400 mm dan web setebal 10 mm. Cari modulus keratan kenyalnya S_x bagi lenturan pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 170 mmH = 400 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 120 mm × 240 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 40 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 168 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 120 mmh = 240 mmpotongan: 40 × 30 mmpusat lubang: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_s, antara −90° dengan 90°, dari paksi-x ke normal satah di mana tegasan ricih mempunyai nilai positif maksimum +R (ricih positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 70 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Bahan itu mempunyai kekuatan alah 355 MPa. Cari faktor keselamatan n terhadap alah mengikut kriteria von Mises (tenaga herotan).

σ_x = 10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 4 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Ia mesti menanggung 140 kN dengan faktor keselamatan 2 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 140 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminium)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 1746 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·25²/4 = 490.9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490.9 = 122.2 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for aluminium = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 122.2/70000 = 0.001746 = 1746 µε

Jawapan

ε = 1746 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 2.635 mm

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 56.59 MPa

σ₂ = 127.3 MPa

Tambah pemanjangan segmen

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 56.59·1500/117000 = 0.7255 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 127.3·1500/100000 = 1.91 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.635 mm

Jawapan

δ = 2.635 mm

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 2.402 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴

Sudut piuhan

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1000/(80000·74551) = 0.04192 rad

φ = 0.04192·180/π = 2.402°

Jawapan

φ = 2.402°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 57.78 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 382 N·m = 381972 N·mm

d_τ = ∛(16·381972/(π·50)) = 33.89 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·381972/(π·80000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 57.78 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(33.89, 57.78) = 57.78 mm

Jawapan

d = 57.78 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 22.5 kN, R₂ = 57.5 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 45, M_C = 90, M_D = 135, M_E = 180 kN·m, M_F = 115, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 180 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 74 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 4·8·4

R_B = 328/8 = 41 kN

ΣF_y = 0: R_A = 82 − 41 = 41 kN

Potong pada x = 2 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 41·2 − 4·2·1 = 74 kN·m

Jawapan

M_x = 74 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: S_x = 875.2 × 10³ mm³

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 400 − 2·10 = 380 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·400³ − 160·380³)/12

I_x = 1.75 × 10⁸ mm⁴

Modulus keratan

c = H/2 = 200 mm

S_x = I/c = 1.75 × 10⁸/200

S_x = 875200 mm³ = 875.2 × 10³ mm³

Jawapan

S_x = 875.2 × 10³ mm³

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 135.3 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (28800·120 − 1200·168)/(28800 − 1200) = 117.9 mm

Plat penuh pada ȳ

120·240³/12 + 28800·2.087² = 138.4 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

40·30³/12 + 1200·50.09² = 3.1 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 135.3 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 135.3 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_s = −82.98 °

Sudut pada bulatan

Pada bulatan Mohr titik atas (+R) berjarak 90° daripada titik utama σ₁; pada unsur itu ialah 45°.

cos 2θ_s = −40/41.23 = −0.9701, sin 2θ_s = −10/41.23 = −0.2425

2θ_s = atan2(−10, −40) = −166°

Sudut pada unsur

θ_s = −82.98°

semakan: θ_s − θ_p = −82.98 − (−37.98) = −45°

Jawapan

θ_s = −82.98°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: n = 5.234

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 40 MPa, R = 31.62 MPa

σ₁ = 71.62 MPa, σ₂ = 8.377 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(71.62² − 71.62·8.377 + 8.377²) = 67.82 MPa

n = 355/67.82 = 5.234

Jawapan

n = 5.234

n > 1 bermaksud titik itu tidak alah; Tresca sedikit lebih konservatif daripada von Mises.

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.042 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 1.042 mm

Jawapan

δ_max = 1.042 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 3.39 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4.167 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·70000·4.167) = 3.39 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3.39 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 3.39 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 13.89 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13.89 kN

Jawapan

P_cr = 13.89 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 131.3 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 131.3 mm

Jawapan

d = 131.3 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 182.8, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials