Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Bar dibuat daripada segmen keluli (diameter 20 mm, panjang 400 mm, E = 200 GPa) yang bercantum hujung ke hujung dengan segmen diperbuat daripada kuprum (diameter 60 mm, panjang 500 mm, E = 120 GPa). Ia dipegang tetap pada satu hujung dan ditarik pada hujung yang lain. Cari beban paksi P yang meregangkannya sebanyak 0.25 mm secara keseluruhan.

segmen 1: keluli, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPasegmen 2: kuprum, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Bar berperingkat itu dipasang tetap pada dinding dan dibebankan pada hujung bebasnya. Cari tegasan normal terbesar σ_max dalam bar itu.

P = 90 kNsegmen 1: Ø35 mm, 1 m, aluminium (E = 70 GPa)segmen 2: Ø20 mm, 2 m, kuprum (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Kilasan aciSederhana

Aci aluminium pepejal berperingkat terikat pada A. Segmen AB berdiameter 75 mm dan panjang 1 m; segmen BC berdiameter 30 mm dan panjang 0.5 m. Tork 200 N·m bertindak pada hujung bebas C. Cari sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

T = 200 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1 md₂ = 30 mm, L₂ = 0.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Kilasan aciSukar

Aci keluli pepejal berdiameter 25 mm terikat pada A. Tork 500 N·m bertindak pada B, 2.5 m dari A, dan tork 100 N·m dalam arah bertentangan bertindak pada hujung bebas C, 3 m lagi ke hadapan. Cari magnitud sudut kilasan φ_C hujung C, dalam darjah.

d = 25 mmT_B = 500 N·mT_C = 100 N·mAB = 2.5 mBC = 3 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Cari momen lentur M_x pada keratan x = 1 m dari penyokong A. Gunakan momen lenturan positif jika melendut ke bawah (sagging) dan ricih ke atas pada muka kiri positif.

L = 8 mw = 12 kN/m dari 0 hingga 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

30 kN @ 12 m10 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Plat 150 mm × 300 mm mempunyai lubang bulat berdiameter 50 mm pada garis tengah menegaknya, dengan pusatnya 210 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 150 mmh = 300 mmd = 50 mmpusat lubang: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Plat 200 mm × 200 mm mempunyai potongan segi empat tepat selebar 60 mm dan setinggi 30 mm, berpusat pada garis tengah menegak dengan pusatnya 80 mm di atas bahagian bawah. Cari momen luas kedua I_x pada paksi mengufuk melalui sentroid.

b = 200 mmh = 200 mmpotongan: 60 × 30 mmpusat lubang: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 60 MPa, σᵧ = −50 MPa dan τₓᵧ = −10 MPa (tegangan positif). Cari sudut θ_p dari paksi-x ke arah tegasan utama terbesar, antara −90° dan 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 40 MPa, σᵧ = 0 MPa dan τₓᵧ = −20 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih τ_θ pada satah yang normalnya diputar 20° ikut arah jam dari paksi-x (positif dalam arah yang sama dengan τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 15 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (kayu balak)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Rasuk kayu disokong mudah berkeratan segi empat tepat, selebar 100 mm, membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan rentangnya. Pesongan tengah rentangnya tidak boleh melebihi rentang/300. Cari kedalaman terkecil h_req bagi keratan itu.

w = 2.5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (kayu balak)b = 100 mm

h_req = mm

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminium)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (keluli)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P = 31.89 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²

Kelenturan

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1.474 × 10⁻⁶ mm/N

Beban

P = 0.25/7.84 × 10⁻⁶ = 31888 N = 31.89 kN

Jawapan

P = 31.89 kN

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: σ_max = 286.5 MPa

Anggota dibebankan secara paksi: setiap segmen prismatik mematuhi δ = PL/(AE). Bagi anggota secara bersiri, pemanjangan ditambah.

Daya yang sama dalam kedua-dua segmen

Hujung bebas membawa P, jadi setiap keratan bar membawa daya paksi P yang sama. Hanya luas dan bahan yang berubah.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 93.54 MPa

σ₂ = 286.5 MPa

Tegasan terbesar

Segmen yang lebih nipis mempunyai luas yang lebih kecil, jadi ia menanggung tegasan yang lebih besar.

σ_max = 286.5 MPa

Jawapan

σ_max = 286.5 MPa

3.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 2.913 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen kutub

J₁ = π·75⁴/32 = 3.106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Kilasan setiap segmen

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 200000·1000/(26000·3.106 × 10⁶) = 0.002476 rad

φ_BC = 200000·500/(26000·79522) = 0.04837 rad

Jumlah kilasan

φ_C = 0.002476 + 0.04837 = 0.05084 rad = 2.913°

Jawapan

φ_C = 2.913°

4.Kilasan aci

Jawapan: φ_C = 13.07 °

Tork dalaman

Arah T_C diambil sebagai positif.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 500 = −400 N·m

Kilasan setiap segmen

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −400000·2500/(80000·38350) = −0.3259 rad

φ_BC = 100000·3000/(80000·38350) = 0.09778 rad

Kilasan hujung C

φ_C = −0.3259 + 0.09778 = −0.2282 rad → |φ_C| = 13.07°

Jawapan

φ_C = 13.07°

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_x = 42 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, bertindak pada x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Potong pada x = 1 m dan simpan bahagian kiri

Hanya daya di kiri potongan yang muncul. Bahagian UDL bertindak sebagai satu daya di tengah bahagian itu.

M = R_A·x − (setiap beban di kiri keratan × jaraknya ke keratan)

M_x = 48·1 − 12·1·0.5 = 42 kN·m

Jawapan

M_x = 42 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: F (x = 10 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 0 kN, R₂ = 40 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 0, M_C = 0, M_D = −20, M_E = −40, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Jawapan

Tanda F: M_F = −60 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

Keratan dengan lubang: anggap lubang sebagai luas negatif. Sentroidnya ialah ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), dengan A₁, y₁ untuk plat penuh dan A₂, y₂ untuk lubang. Untuk momen luas kedua pada paksi sentroid, gunakan teorem paksi selari bagi setiap bahagian dan tolak lubang: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), dengan d jarak dari sentroid setiap bahagian ke paksi melalui ȳ. Segi empat tepat mempunyai I_c = bh³/12 dan bulatan I_c = πd⁴/64.

Sentroid

ȳ = (45000·150 − 1963·210)/(45000 − 1963) = 147.3 mm

Plat penuh pada ȳ

150·300³/12 + 45000·2.737² = 337.8 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

π·50⁴/64 + 1963·62.74² = 8.035 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 329.8 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 132.4 × 10⁶ mm⁴

Sentroid

ȳ = (40000·100 − 1800·80)/(40000 − 1800) = 100.9 mm

Plat penuh pada ȳ

200·200³/12 + 40000·−0.9424² = 133.4 × 10⁶ mm⁴

Lubang pada ȳ

60·30³/12 + 1800·−20.94² = 0.9245 × 10⁶ mm⁴

Tolak

I_x = 132.4 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 132.4 × 10⁶ mm⁴

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: θ_p = −5.152 °

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Sudut pada bulatan

Titik x berada pada sudut 2θp dari paksi-σ pada bulatan Mohr; sukuan diperoleh daripada tanda σₓ − σᵧ dan τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 60 − −50) = −10.3°

Sudut pada unsur

θ_p = −5.152°

Jawapan

θ_p = −5.152°

Sudut positif ialah lawan arah jam.

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_θ = −2.465 MPa

Persamaan transformasi

τ_θ = −20·−0.6428 + −20·0.766 = −2.465 MPa

Jawapan

τ_θ = −2.465 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 1.07 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·9.24 × 10¹¹) = 1.07 mm

Jawapan

δ_max = 1.07 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: h_req = 284.4 mm

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 2.5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Had pesongan

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2.5·6000⁴/(384·11000·20) = 1.918 × 10⁸ mm⁴

Kedalaman yang diperlukan

bh³/12 = I_req → h = (12·1.918 × 10⁸/100)^1/3 = 284.4 mm

Jawapan

h_req = 284.4 mm

Dalam amalan, pilih kedalaman piawai seterusnya di atas nilai ini.

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 143.9 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·2000 = 2000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/2000² = 143932 N = 143.9 kN

Jawapan

P_cr = 143.9 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 49.35 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

Jawapan

σ_cr = 49.35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials