Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 100 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa). Kedua-duanya sepanjang 400 mm dan dimampatkan bersama antara plat tegar oleh 300 kN. Cari pemendekan δ.

P = 300 kNrod: Ø20 mm, E = 200 GPatiub: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 20 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 50 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 100 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Aci loyang berongga (diameter luar 40 mm, diameter dalam 24 mm, panjang 1.5 m) terikat pada satu hujung dan dipiuh oleh tork 500 N·m pada hujung yang satu lagi. Cari sudut kilasan φ dalam darjah.

T = 500 N·md_o = 40 mmd_i = 24 mmL = 1.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Satu aci pejal mesti menghantar 100 kW pada 750 rpm tanpa tegasan ricih melebihi 40 MPa. Cari diameter terkecil d yang berfungsi.

P = 100 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Julur itu terikat tetap pada A. Ia membawa beban teragih seragam w sepanjang keseluruhan panjangnya dan beban titik P pada 1.5 m dari A. Cari momen lentur M_A pada penyokong tetap A. Gunakan momen sagging sebagai positif dan daya ricih ke atas pada muka kiri sebagai positif.

L = 2 mP = 60 kN pada 1.5 mw = 6 kN/m dari 0 hingga 2 m

M_A = kN·m

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Rasuk disokong mudah itu membawa beban teragih seragam pada sebahagian rentangnya. Cari momen lentur maksimum M_max dalam rasuk.

L = 8 mw = 8 kN/m dari 5 hingga 7 m

M_max = kN·m

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Cari momen luas kedua I_x keratan-T pada paksi mengufuk x yang melalui sentroidnya.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 50 MPa dalam tegangan dan 120 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik mempunyai σₓ = 70 MPa, σᵧ = 50 MPa dan τₓᵧ = 60 MPa (tegangan positif). Unsur itu diputar 30° lawan arah jam. Cari tegasan normal σ_y′ pada muka unsur yang diputar yang berserenjang dengan paksi-y′ yang diputar.

σ_x = 70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Satu titik dalam plat nipis berada dalam tegasan satah: σₓ = 150 MPa, σᵧ = −30 MPa dan τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). Cari tegasan setara von Mises σ_vM.

σ_x = 150 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (aluminium)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (keluli)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pin pada kedua-dua hujung. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 3 mE = 200 GPa (keluli)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang bulat pejal sepanjang L diperbuat daripada keluli dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas berpin. Ia mesti menanggung 130 kN dengan faktor keselamatan 3 terhadap lengkokan. Cari diameter terkecil d.

P = 130 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)

d = mm

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: δ = 0.1841 mm

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·5890 = 6.519 × 10⁸ N

Pemendekan

δ = 300000·400/6.519 × 10⁸ = 0.1841 mm

Jawapan

δ = 0.1841 mm

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 997.5 kN

Luas

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·9346 = 9.975 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.001) = 0.001 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.001·9.975 × 10⁸ = 997456 N = 997.5 kN

Jawapan

P_max = 997.5 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 5.037 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π(40⁴ − 24⁴)/32 = 218755 mm⁴

Sudut piuhan

T = 500 N·m = 500000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 500000·1500/(39000·218755) = 0.08791 rad

φ = 0.08791·180/π = 5.037°

Jawapan

φ = 5.037°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 54.53 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 100000/78.54 = 1273 N·m

Diameter daripada tegasan dibenarkan

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.273 × 10⁶/(π·40)) = 54.53 mm

Jawapan

d = 54.53 mm

Dalam amalan anda akan membundarkan ke atas kepada saiz piawai yang seterusnya.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_A = −102 kN·m

Simpan bahagian hujung bebas

P: −60·1.5 = −90 kN·m

w: −6·2²/2 = −12 kN·m

M_A = −90 − 12 = −102 kN·m

Jawapan

M_A = −102 kN·m

Negatif bermaksud hogging: tegangan pada muka atas.

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: M_max = 21 kN·m

Kaedah keratan: potong rasuk di tempat yang anda mahu mencari daya dalaman dan simpan satu sebelah. Daya ricih V mengimbangi daya tegak pada sebelah itu, dan momen lentur M mengimbangi momennya pada potongan. Momen maksimum: kerana dM/dx = V, momen lentur mencapai puncak di mana daya ricih melalui sifar, sama ada pada beban titik atau di dalam beban teragih.

Tindak balas penyokong

Keseimbangan seluruh rasuk.

Paduan UDL: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, bertindak pada x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 8·2·6

R_B = 96/8 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 12 = 4 kN

Daya ricih sifar

Daya ricih bermula pada R_A, kekal malar pada sebarang bahagian yang tidak dibebani dan menurun dengan kecerunan w di dalam beban.

R_A − w·(x₀ − 5) = 0

x₀ = 5 + 4/8 = 5.5 m

Momen maksimum

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 5)²/2 = 4·5.5 − 8·0.5²/2 = 21 kN·m

Jawapan

M_max = 21 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 32.34 × 10⁶ mm⁴

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Bahagikan kepada dua segi empat tepat

Ukur setiap y dari tepi bawah.

bebibir: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

web: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Sentroid

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 2400·100)/9600 = 186.3 mm

Teorem paksi selari

bebibir: 240·30³/12 + 7200·(215 − 186.3)² = 6.491 × 10⁶ mm⁴

web: 12·200³/12 + 2400·(100 − 186.3)² = 2.585 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.491 × 10⁶ + 2.585 × 10⁷ = 3.235 × 10⁷ mm⁴ = 32.34 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 32.34 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 26.72 kN·m

Sentroid

ȳ = (2400·287.5 + 2800·140)/5200 = 208.1 mm

tepi atas: c = 295 − 208.1 = 86.92 mm

Momen luas kedua

I = 160·15³/12 + 2400·79.42² + 10·280³/12 + 2800·68.08² = 4.645 × 10⁷ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 50·4.645 × 10⁷/86.92 = 26.72 kN·m

tepi bawah: M = 120·4.645 × 10⁷/208.1 = 26.79 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 26.72 kN·m (tepi atas)

Jawapan

M_allow = 26.72 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_y′ = 3.038 MPa

Persamaan transformasi bagi muka y′

σ_y′ = 60 − 10·0.5 − 60·0.866 = 3.038 MPa

Semakan

Hasil tambah tegasan normal tidak berubah dengan putaran.

σ_x′ = 117 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

Jawapan

σ_y′ = 3.038 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_vM = 167.9 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R. Kriteria alah: von Mises meramalkan alah apabila σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) mencapai σ_Y; Tresca apabila tegasan ricih maksimum mutlak mencapai σ_Y/2.

Tegasan utama

C = 60 MPa, R = 90.55 MPa

σ₁ = 150.6 MPa, σ₂ = −30.55 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(150.6² − 150.6·(−30.55) + (−30.55)²) = 167.9 MPa

Jawapan

σ_vM = 167.9 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 2.018 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2500⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 2.018 mm

Jawapan

δ_max = 2.018 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13.89) = 1.172 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 11.72 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 28.56 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Segi empat tepat melengkok pada paksi lemahnya, menggunakan dimensi yang lebih kecil dikuasa tiga.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 1·3000 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28.56 kN

Jawapan

P_cr = 28.56 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: d = 59.25 mm

Beban kritikal yang diperlukan

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

Selesaikan untuk diameter

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 59.25 mm

Jawapan

d = 59.25 mm

Semak: kelangsingan KL/r ialah 118.1, jadi tiang itu langsing dan Euler terpakai.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials