Mekanik Bahan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 14 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Tegasan & terikan paksi

Tegasan normal: σ = F/A
Terikan: ε = ΔL/L
Hukum Hooke: σ = E·ε
Pemanjangan: ΔL = FL/(EA)
Terikan terma: ε_T = α·ΔT

Kilasan aci

Tegasan ricih: τ = T·r/J
Aci pejal: J = πd⁴/32
Aci berongga: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ)
Kuasa: P = T·ω = 2πnT/60

Kaedah

Cari momen luas kutub: J = πd⁴/32 untuk aci pejal.
Tegasan ricih pada permukaan: τ = T·r/J, dengan r ialah jejari luar.
Sudut piuhan: φ = TL/(GJ) dalam radian.
Jika kuasa diberi, cari tork dahulu dengan P = T·ω, ω = 2πn/60.

Daya ricih & momen lentur

Ricih dan momen: V = ΣF pada satu sisi, M = ΣF·d pada satu sisi
Tegasan lenturan: σ = M·y/I
Segi empat tepat: I = bh³/12
Modulus keratan: W = I/y_max
Disokong mudah, beban seragam: M_max = wL²/8

Kaedah

Cari tindak balas penyokong daripada keseimbangan seluruh rasuk.
Potong rasuk pada keratan yang anda perlukan dan simpan satu sebelah.
Daya ricih: hasil tambah daya tegak pada sebelah itu. Momen lentur: hasil tambah momennya pada potongan.
Untuk momen maksimum, cari di mana daya ricih ialah sifar.

Sentroid & momen luas kedua

Sentroid: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Segi empat tepat: I = bh³/12
Teorem paksi selari: I = I_c + A·d²
Keratan gubahan: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Pusat: C = (σ_x + σ_y)/2
Jejari: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tegasan utama: σ_1,2 = C ± R
Arah utama: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Satah condong: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Kaedah

Kira pusat bulatan Mohr: C = (σx + σy)/2.
Kira jejari: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Tegasan utama ialah C ± R dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.
Sudut pada bulatan adalah dua kali ganda sudut pada unsur: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Pesongan rasuk

Beban titik pada pertengahan rentang: δ = PL³/(48EI)
Beban seragam, disokong mudah: δ = 5wL⁴/(384EI)
Julur, beban hujung: δ = PL³/(3EI)
Julur, beban seragam: δ = wL⁴/(8EI)
Superposisi: δ = δ₁ + δ₂

Lengkokan tiang

Beban Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Faktor panjang berkesan: K = 1 pin–pin, 0.5 tetap–tetap, 0.7 tetap–pin, 2 tetap–bebas
Tegasan kritikal: σ_cr = P_cr/A
Kelangsingan: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Soalan latihan

1.Tegasan & terikan paksiSederhana

Cari terikan paksi ε dalam bar loyang, dalam mikroterikan (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tegasan & terikan paksiSukar

Rod keluli (diameter 40 mm, E = 200 GPa, tegasan dibenarkan 200 MPa) berada di dalam tiub diperbuat daripada loyang (diameter luar 120 mm, diameter dalam 70 mm, E = 100 GPa, tegasan dibenarkan 70 MPa). Kedua-duanya dimampatkan bersama antara plat tegar. Cari beban terbesar P_max.

rod: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatiub: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Kilasan aciSederhana

Satu aci aluminium pejal dipasang tetap pada dinding dan dipiuh oleh tork T pada hujung bebasnya. Cari sudut piuhan φ hujung bebas, dalam darjah.

T = 750 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Kilasan aciSukar

Aci aluminium pepejal memindahkan 10 kW pada 1500 rpm. Tegasan ricih tidak boleh melebihi 40 MPa dan kilasan tidak boleh melebihi 1° bagi setiap m panjang. Cari diameter terkecil d yang memenuhi kedua-dua had.

P = 10 kWN = 1500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Daya ricih & momen lenturSederhana

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 4 m20 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Daya ricih & momen lenturSukar

Tanda A hingga G membahagikan rasuk kepada enam bahagian yang sama. Pada tanda manakah momen lentur terbesar dari segi saiz, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging)? Klik padanya dalam rajah.

40 kN @ 0 m50 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Sentroid & momen luas keduaSederhana

Keratan I simetri mempunyai bebibir selebar 230 mm dan setebal 16 mm, kedalaman keseluruhan 300 mm dan web setebal 12 mm. Cari momen luas keduanya I_x pada paksi sentroid mengufuk x.

B = 230 mmH = 300 mmt_f = 16 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas keduaSukar

Rasuk besi tuang mempunyai keratan T seperti yang ditunjukkan, dengan bebibir di atas. Tegasan yang dibenarkan ialah 50 MPa dalam tegangan dan 100 MPa dalam mampatan. Cari momen lentur hogging terbesar M_allow yang boleh ditanggung oleh rasuk (berikan magnitudnya).

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSederhana

Satu titik dalam bahagian yang dibebankan mempunyai σₓ = 160 MPa, σᵧ = −10 MPa dan τₓᵧ = −40 MPa (tegangan positif). Cari tegasan ricih maksimum dalam satah τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasanSukar

Sebuah tangki silinder berdinding nipis berdiameter dalam 800 mm dan ketebalan dinding 10 mm menyimpan gas pada tekanan tolok 2.5 MPa. Ia dibuat daripada plat yang dikimpal sepanjang kelim heliks pada 30° kepada paksi silinder. Cari tegasan normal σ_n yang bertindak merentasi kelim kimpalan.

D = 800 mmt = 10 mmp = 2.5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Pesongan rasukSederhana

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w sepanjang seluruh rentangnya. Cari pesongan maksimum δ_max, pada pertengahan rentang.

w = 20 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (keluli)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Pesongan rasukSukar

Satu rasuk disokong mudah membawa beban teragih seragam w. Pesongannya tidak boleh melebihi rentang/360. Cari momen luas kedua terkecil I_req yang memenuhi had ini.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminium)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiangSederhana

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan dengan pangkal tetap dan bahagian atas bebas. Dengan formula Euler, cari beban lengkokan kritikal P_crnya.

L = 1.5 mE = 70 GPa (aluminium)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Lengkokan tiangSukar

Satu tiang sepanjang L diperbuat daripada aluminium dan tetap pada kedua-dua hujung. Cari kelangsingannya dan tegasan lengkokan kritikal σ_cr daripada formula Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminium)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Larutan

1.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: ε = 4421 µε

Hukum Hooke: dalam julat kenyal σ = E·ε. Menggabungkannya dengan σ = P/A dan ε = δ/L memberikan δ = PL/(AE).

Tegasan

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113.1 = 442.1 MPa

Terikan (hukum Hooke)

E for loyang = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 442.1/100000 = 0.004421 = 4421 µε

Jawapan

ε = 4421 µε

2.Tegasan & terikan paksi

Jawapan: P_max = 698.2 kN

Dua bahan: secara siri (satu selepas satu) setiap segmen membawa daya yang sama dan pemanjangan bertambah: δ = P·Σ L/(E·A). Secara selari (bersebelahan antara plat tegar) kedua-dua bahagian memendek sebanyak yang sama, jadi terikannya sama: bahagian yang lebih kaku menanggung bahagian yang lebih besar, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, dan σ_i = E_i·ε. Bar yang dipegang antara dua dinding tegar dengan beban pada sambungan ialah tak boleh ditentu secara statik: kedua-dua segmen berkongsi beban mengikut kekakuan k = EA/L.

Luas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Kekakuan paksi gabungan

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9.975 × 10⁸ N

Terikan penentu

ε = min(0.001, 0.0007) = 0.0007 (loyang)

Beban terbesar

P_max = 0.0007·9.975 × 10⁸ = 698219 N = 698.2 kN

Jawapan

P_max = 698.2 kN

3.Kilasan aci

Jawapan: φ = 3.288 °

Kilasan aci bulat: tegasan ricih bertambah secara linear daripada sifar di pusat kepada τ_max = T·r/J pada permukaan, dengan J = πd⁴/32 bagi aci pejal dan J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 bagi aci berongga. Sudut piuhan ialah φ = TL/(GJ) dalam radian. Kuasa dan tork dihubungkan oleh P = T·ω.

Momen luas kutub kedua

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Sudut piuhan

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·251327) = 0.05739 rad

φ = 0.05739·180/π = 3.288°

Jawapan

φ = 3.288°

4.Kilasan aci

Jawapan: d = 34.57 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m

Diameter untuk kekuatan

T = 63.66 N·m = 63662 N·mm

d_τ = ∛(16·63662/(π·40)) = 20.09 mm

Diameter untuk kekukuhan

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·63662/(π·26000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 34.57 mm

Diameter penentu

Kedua-dua had mesti dipenuhi, maka diameter yang lebih besar menentukan.

d = max(20.09, 34.57) = 34.57 mm

Jawapan

d = 34.57 mm

Di sini kekukuhan menentukan.

5.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 4 m)

Momen lentur terbesar: M berubah kecerunan di mana sahaja daya ricih berubah, jadi puncaknya terletak di mana daya ricih melintasi sifar: di bawah beban titik, di dalam beban teragih, atau di atas penyokong bagi juluran. Pada penyokong tetap kantilever, momen adalah terbesar di dinding. Bandingkan saiz M di tempat-tempat itu, melendut (sagging) atau menjungkit (hogging).

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 26.67 kN, R₂ = 33.33 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = 26.67, M_C = 53.33, M_D = 60, M_E = 66.67 kN·m, M_F = 33.33, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = 66.67 kN·m

6.Daya ricih & momen lentur

Jawapan: E (x = 8 m)

Tindak balas penyokong

Ambil momen pada satu penyokong, kemudian gunakan imbangan daya mencancang.

R₁ = 20 kN, R₂ = 70 kN

Momen lentur pada setiap tanda

Jumlahkan momen semua daya di satu sebelah potongan. Melendut (sagging) ialah positif, menjungkit (hogging) negatif.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −120, M_D = −160, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Jawapan

Tanda E: M_E = −200 kN·m

7.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: I_x = 167.8 × 10⁶ mm⁴

Momen luas kedua: bagi segi empat tepat pada paksi sentroidnya sendiri I = bh³/12, dan pada tapaknya bh³/3 (teorem paksi selari I = I_c + A·d²). Lubang dikendalikan dengan menolak I-nya, selagi kedua-dua bahagian berkongsi paksi yang sama. Modulus keratan kenyal ialah S = I/c, dengan c ialah jarak ke gentian paling luar.

Segi empat tepat luar tolak dua potongan sisi

Kedua-dua potongan bersama selebar (B − t_w) dan setinggi h_w = H − 2t_f, dan berkongsi paksi x.

h_w = 300 − 2·16 = 268 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·300³ − 218·268³)/12

I_x = 1.678 × 10⁸ mm⁴ = 167.8 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_x = 167.8 × 10⁶ mm⁴

8.Sentroid & momen luas kedua

Jawapan: M_allow = 8.812 kN·m

Luas gubahan: bahagikan keratan kepada segi empat tepat. Sentroid ialah purata berwajaran luas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Momen luas kedua pada paksi sentroid menambah bh³/12 setiap bahagian dan sebutan paksi selari A·d²nya, dengan d ialah jarak dari sentroid bahagian itu ke sentroid keseluruhan. Tegasan lenturan ialah σ = M·y/I.

Sentroid

ȳ = (1600·145 + 2240·70)/3840 = 101.3 mm

tepi atas: c = 150 − 101.3 = 48.75 mm

Momen luas kedua

I = 160·10³/12 + 1600·43.75² + 16·140³/12 + 2240·31.25² = 8.922 × 10⁶ mm⁴

Momen yang dibenarkan oleh setiap tepi

Hogging: bahagian atas dalam tegangan, bahagian bawah dalam mampatan.

tepi atas: M = 50·8.922 × 10⁶/48.75 = 9.151 kN·m

tepi bawah: M = 100·8.922 × 10⁶/101.3 = 8.812 kN·m

Nilai penentu

M_allow = min = 8.812 kN·m (tepi bawah)

Jawapan

M_allow = 8.812 kN·m

9.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: τ_max = 93.94 MPa

Transformasi tegasan satah: pada satah yang diputar sebanyak θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Bulatan Mohr menunjukkan semua satah sekali gus: pusatnya pada C = (σₓ + σᵧ)/2 dan jejarinya R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Tegasan utama ialah C ± R, dan tegasan ricih dalam satah terbesar ialah R.

Jejari bulatan Mohr

τ_max = R = √(((160 − −10)/2)² + −40²) = 93.94 MPa

Jawapan

τ_max = 93.94 MPa

10.Bulatan Mohr & transformasi tegasan

Jawapan: σ_n = 87.5 MPa

Tegasan dinding

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2.5·400/10 = 100 MPa

σ_a = pr/(2t) = 50 MPa

Transformasi kepada kelim

Ambil x di sepanjang paksi (σ_a) dan y di sekeliling lingkar (σ_h). Normal kelim membuat 90° − α dengan paksi.

σ_n = 50·sin²30° + 100·cos²30° = 87.5 MPa

Jawapan

σ_n = 87.5 MPa

11.Pesongan rasuk

Jawapan: δ_max = 4.239 mm

Pesongan rasuk: pesongan diperoleh daripada pengamiran kelengkungan M/(EI) dua kali. Kes piawai telah dijadualkan, contohnya PL³/(3EI) bagi julur dengan beban hujung dan 5wL⁴/(384EI) bagi rasuk disokong mudah di bawah beban seragam penuh. Pesongan daripada beban yang berasingan ditambah (superposisi).

Unit yang konsisten

Bekerja dalam N dan mm: P dalam N, w dalam N/mm (kN/m = N/mm), L dalam mm, E dalam N/mm² (GPa × 1000), I dalam mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

Pesongan

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2500⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 4.239 mm

Jawapan

δ_max = 4.239 mm

12.Pesongan rasuk

Jawapan: I_req = 10.71 × 10⁶ mm⁴

Had pesongan

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

Momen luas kedua yang diperlukan

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·2000⁴/(384·70000·5.556) = 1.071 × 10⁷ mm⁴

I_req = 10.71 × 10⁶ mm⁴

Jawapan

I_req = 10.71 × 10⁶ mm⁴

13.Lengkokan tiang

Jawapan: P_cr = 9.646 kN

Lengkokan Euler: tiang langsing menjadi tidak stabil pada P_cr = π²EI/(KL)², dengan KL ialah panjang berkesan: K = 1 bagi pin–pin, 2 bagi tetap–bebas, 0.7 bagi tetap–pin dan 0.5 bagi tetap–tetap. Ia melengkok pada paksi yang mempunyai I terkecil. Formula ini sah bagi tiang langsing, yang tegasan kritikalnya kekal di bawah tegasan alah.

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Panjang berkesan

KL = 2·1500 = 3000 mm

Beban kritikal

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/3000² = 9646 N = 9.646 kN

Jawapan

P_cr = 9.646 kN

14.Lengkokan tiang

Jawapan: σ_cr = 6.747 MPa

Momen luas kedua terkecil

Keratan bulat mempunyai I yang sama pada setiap paksi.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Jejari legaran dan kelangsingan

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6.25 = 320

Tegasan kritikal

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6.747 MPa

Jawapan

σ_cr = 6.747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials